1. Даны вершины треугольника A(0; 11) B(0; - 5) C(7; 7) . Найти: а) уравнение медианы АМ; б) расстояние от точки С до прямой АМ.

Давайте по порядку решим задачу.

1. Найдем уравнение медианы АМ.

Для начала найдем координаты точки M, которая является серединой отрезка BC. Точки B и C имеют координаты B(0; -5) и C(7; 7). Используем формулу для нахождения координат середины отрезка:

\[ M\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) = M\left(\frac{0 + 7}{2}, \frac{-5 + 7}{2}\right) = M\left(\frac{7}{2}, 1\right) \]

Теперь у нас есть координаты точки M(3.5; 1).

Затем найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и M. Координаты точки A равны A(0; 11). Сначала найдем угловой коэффициент \(k\) прямой AM:

\[ k = \frac{y_M - y_A}{x_M - x_A} = \frac{1 - 11}{3.5 - 0} = \frac{-10}{3.5} = -\frac{20}{7} \]

Теперь можем записать уравнение прямой в виде \(y - y_1 = k(x - x_1)\). В нашем случае:

\[ y - 11 = -\frac{20}{7}(x - 0) \]

Раскроем скобки:

\[ y - 11 = -\frac{20}{7} x \]

Теперь приведем уравнение к общему виду:

\[ y = -\frac{20}{7} x + 11 \]

Таким образом, уравнение медианы AM:

\[ y = -\frac{20}{7}x + 11 \]

2. Найдем расстояние от точки C до прямой AM.

Для этого используем формулу расстояния от точки до прямой, заданной уравнением \(Ax + By + C = 0\). Приведем уравнение AM к этой форме:

Исходное уравнение: \[ y + \frac{20}{7}x - 11 = 0 \]

Здесь A = \(\frac{20}{7}\), B = -1, C = -11. Точка C(7; 7) имеет координаты (x_0, y_0) = (7, 7).

Формула для расстояния \(d\) от точки (x_0, y_0) до прямой \(Ax + By + C = 0\) выглядит так:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Подставим значения:

\[ d = \frac{\left|\frac{20}{7} \cdot 7 - 1 \cdot 7 - 11\right|}{\sqrt{\left(\frac{20}{7}\right)^2 + (-1)^2}} \]

Вычислим числитель:

\[ d = \frac{\left|20 - 7 - 11\right|}{\sqrt{\frac{400}{49} + 1}} = \frac{|20 - 18|}{\sqrt{\frac{400}{49} + \frac{49}{49}}} = \frac{2}{\sqrt{\frac{449}{49}}} = \frac{2}{\frac{\sqrt{449}}{7}} = \frac{14}{\sqrt{449}} \]

Таким образом, расстояние от точки C до прямой AM составляет:

\[ d = \frac{14}{\sqrt{449}} \]

Теперь вы знаем, как найти уравнение медианы и расстояние от точки до прямой! Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!