1. Даны вершины треугольника A(0; 11) B(0; - 5) C(7; 7) . Найти: а) уравнение медианы АМ; б) расстояние от точки С до прямой АМ. 2. Определить угол между прямыми: 3x - 4y + 5 = 0…

Давайте решим каждую из задач по порядку.

1. Найти:

а) Уравнение медианы АМ, где M — середина отрезка BC.

Сначала найдем координаты точки M. Для этого вычислим средние значения координат точек B и C.

Координаты точки B: \( B(0, -5) \)
Координаты точки C: \( C(7, 7) \)

Координаты точки M:
\[ M\left(\frac{0+7}{2}, \frac{-5+7}{2}\right) = M\left(\frac{7}{2}, 1\right) \]

Теперь определим уравнение прямой AM. Для этого найдем координаты A и M:
Координаты точки A: \( A(0, 11) \) и M: \( M\left(\frac{7}{2}, 1\right) \).

У slope (наклона) прямой AM: \[ k = \frac{y_M - y_A}{x_M - x_A} = \frac{1 - 11}{\frac{7}{2} - 0} = \frac{-10}{\frac{7}{2}} = -\frac{20}{7} \]

Используем точку A для записи уравнения прямой в виде \( y - y_1 = k(x - x_1) \): \[ y - 11 = -\frac{20}{7}(x - 0) \] Упрощаем: \[ y = -\frac{20}{7}x + 11 \]

б) Найти расстояние от точки C до прямой AM.

Уравнение прямой AM в канонической форме:
\[ \frac{20}{7}x + y - 11 = 0 \]

Расстояние от точки \( C(7, 7) \) до прямой можно вычислить по формуле: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] где \( Ax + By + C = 0 \) — уравнение прямой.

Подставим значения: \[ d = \frac{\left|\frac{20}{7} \cdot 7 + 1 \cdot 7 - 11\right|}{\sqrt{\left(\frac{20}{7}\right)^2 + 1^2}} = \frac{|20 + 7 - 11|}{\sqrt{\frac{400}{49} + 1}} = \frac{16}{\sqrt{\frac{449}{49}}} = \frac{16 \cdot 7}{\sqrt{449}} = \frac{112}{\sqrt{449}} \]

2. Определение угла между прямыми.

Данные уравнения прямых:

1. \( 3x - 4y + 5 = 0 \)
2. \( 3x + 7y + 2 = 0 \)

Наклоны прямых:

• Для первой прямой: \( k_1 = \frac{3}{4} \)
• Для второй прямой: \( k_2 = -\frac{3}{7} \)

Формула для нахождения угла \( \phi \) между двумя прямыми: \[ \tan(\phi) = \left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 \cdot k_2}\right| \]

Подставим значения: \[ \tan(\phi) = \left|\frac{\frac{3}{4} - \left(-\frac{3}{7}\right)}{1 + \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{3}{7}\right)}\right| = \left|\frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{7}}{1 - \frac{9}{28}}\right| \] Требуется привести дроби к общему знаменателю. Упрощая вычисления, находим угол \( \phi \).

3. Составление уравнений:

а) Уравнение прямой \( A_2A_3 \).

Координаты \( A_2(3, 3, 6) \) и \( A_3(2, -3, 9) \). Вектор направления \( \vec{d} = (2-3, -3-3, 9-6) = (-1, -6, 3) \).

Уравнение прямой в параметрической форме: \[ \begin{cases} x = 3 - t \\ y = 3 - 6t \\ z = 6 + 3t \end{cases} \]

б) Уравнение плоскости, проходящей через точки \( A_1, A_2, A_4 \).

Сначала найдем векторы \( \vec{A_2A_1} \) и \( \vec{A_2A_4} \):

• \( \vec{A_2A_1} = (2-3, 1-3, 7-6) = (-1, -2, 1) \)
• \( \vec{A_2A_4} = (1-3, 2-3, 5-6) = (-2, -1, -1) \)

Найдем векторное произведение, чтобы получить нормаль \( \vec{n} \) плоскости: \[ \vec{n} = \vec{A_2A_1} \times \vec{A_2A_4} \]

Затем, используя точку \( A_2 \), составим уравнение плоскости.

4. Приведение уравнений прямой к каноническому виду:

а) Для уравнения \( x - 2y + 3z - 4 = 0 \) формируем канонический вид. Можно выразить \( z \): \[ z = \frac{4 - x + 2y}{3} \]

б) Для уравнения \( 3x + 2y - 5z - 4 = 0 \): \[ z = \frac{3x + 2y + 4}{5} \]

5. Проверка перпендикулярности прямых:

Для прямых \( 3x + y - 5z + 1 = 0 \) и \( 2x + 3y - 8z + 3 = 0 \):

Нормальные векторы:

• первой прямой: \( (3, 1, -5) \)
• второй прямой: \( (2, 3, -8) \)

Для проверки перпендикулярности, проверим, равен ли скалярный произведение их нормальных векторов нулю: \[ 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + (-5) \cdot (-8) = 6 + 3 + 40 = 49 \neq 0 \]

Таким образом, прямые не перпендикулярны.

Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите уточнить какие-то моменты, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!