При каком значении переменной значение выражения 4х+5|8-4х| равно 17
Для решения уравнения \( 4x + 5 |8 - 4x| = 17 \), начнем с изоляции модуля:
\[ 4x + 5 |8 - 4x| = 17 \] Решим это уравнение по шагам:
- Переносим 5 на правую сторону уравнения:
\[ 4x + 5 |8 - 4x| = 17 \\ 4x + 5 |8 - 4x| - 5 = 17 - 5 \\ 4x + 5 |8 - 4x| = 12 \]
- Упрощаем уравнение:
\[ 5 |8 - 4x| = 12 - 4x \]
- Делим обе стороны на 5:
\[ |8 - 4x| = \frac{12 - 4x}{5} \]
Теперь рассмотрим два случая для выражения под модулем.
Случай 1: \( 8 - 4x \geq 0 \) (то есть \( x \leq 2 \))
В этом случае:
\[ 8 - 4x = \frac{12 - 4x}{5} \] Умножаем обе части уравнения на 5:
\[ 5(8 - 4x) = 12 - 4x \\ 40 - 20x = 12 - 4x \]
Переносим \( 4x \) и \( 12 \) влево:
\[ 40 - 12 = 20x - 4x \\ 28 = 16x \\ x = \frac{28}{16} = \frac{7}{4} = 1.75 \]
Случай 2: \( 8 - 4x < 0 \) (то есть \( x > 2 \))
В этом случае:
\[ -(8 - 4x) = \frac{12 - 4x}{5} \] Умножаем на 5:
\[ -5(8 - 4x) = 12 - 4x \\ -40 + 20x = 12 - 4x \]
Переносим \( 12 \) и \( -4x \) влево:
\[ 20x + 4x = 12 + 40 \\ 24x = 52 \\ x = \frac{52}{24} = \frac{13}{6} \approx 2.17 \]
Проверяем ограничения
Для первого случая \( x = \frac{7}{4} \) подходит, так как \( \frac{7}{4} \approx 1.75 \leq 2 \).
Для второго случая \( x = \frac{13}{6} \) также подходит, так как \( \frac{13}{6} \approx 2.17 > 2 \).
Таким образом, есть два значения переменной \( x \):
- \( x = \frac{7}{4} \)
- \( x = \frac{13}{6} \)
Ответ: \( x = \frac{7}{4} \) или \( x = \frac{13}{6} \).
