Из большой партии изготовленных валиков по выборке объёма n = 25 найдена выборочная средняя арифметическая диаметра валика, равная 10 мм. Считая, что диаметр валика Х нормально…
Из большой партии изготовленных валиков по выборке объёма n = 25 найдена выборочная средняя арифметическая диаметра валика, равная 10 мм. Считая, что диаметр валика Х нормально распределенная случайная величина, найти доверительный интервал, который с доверительной вероятностью 0,99 покрывает неизвестное математическое ожидание а диаметра валика, если генеральное среднее квадратическое отклонение о= 0,1 мм.
Для нахождения доверительного интервала для математического ожидания диаметров валиков, мы можем использовать формулу для доверительного интервала для среднего значения нормально распределенной случайной величины.
Так как мы знаем, что выборка имеет объем \( n = 25 \), выборочное среднее \( \bar{x} = 10 \) мм, и генеральное среднее квадратическое отклонение \( \sigma = 0,1 \) мм, мы можем использовать Z-распределение, так как считается, что размеры нормально распределены и известна дисперсия.
Для доверительной вероятности \( 0,99 \) критическое значение \( Z \) можно найти в таблице Z-распределения. Для \( 0,99 \) уровень значимости \( \alpha = 0,01 \), и для двухстороннего теста \( \alpha/2 = 0,005 \). Соответствующее критическое значение \( Z_{0.005} \) примерно равно \( 2,576 \).
Теперь можем рассчитать доверительный интервал:
Ошибка выборки (стандартная ошибка среднего): \[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0,1}{\sqrt{25}} = \frac{0,1}{5} = 0,02 \text{ мм} \]
Доверительный интервал: \[ \bar{x} \pm Z \cdot SE = 10 \pm 2,576 \cdot 0,02 \] \[ = 10 \pm 0,05152 \]
Таким образом, доверительный интервал будет: \[ (10 - 0,05152; 10 + 0,05152) = (9,94848; 10,05152) \]
Итак, мы с доверительной вероятностью \( 0,99 \) можем утверждать, что математическое ожидание диаметра валика находится в интервале \( (9,94848; 10,05152) \) мм.
