Из большой партии изготовленных деталей по выборке объёма п найдена средняя арифметическая длины детали, равная Хв. Считая, что длина детали X- нормально распределенная случайная величина, найти доверительный интервал, который при уровне значимости α покрывает неизвестное математическое ожидание а длины детали, если генеральное среднее квадратическое отклонение sigma = 0, 5 мм: а) overline X_{B} = 50 мм; n = 64 a = 0,05 б) overline X_{B} = 51 мм; n = 49 a = 0,01 в) overline X_{B} = 52 мм; n = 36 a = 0,001

Чтобы найти доверительный интервал для математического ожидания длины детали, когда длина детали \(X\) нормально распределена и известна генеральная среднеквадратическое отклонение \(\sigma\), можно использовать формулу для доверительного интервала (ДИ):

\[ \overline{X}_{B} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

где:

• \(\overline{X}_{B}\) — выборочное среднее,
• \(z_{\alpha/2}\) — критическое значение z для уровня значимости \(\alpha\),
• \(\sigma\) — генеральное среднеквадратическое отклонение,
• \(n\) — размер выборки.

Сначала найдем \(z_{\alpha/2}\) для каждого случая.

а) \(\overline{X}_{B} = 50\) мм; \(n = 64\); \(\alpha = 0,05\)

Для уровня значимости \(\alpha = 0,05\), критическое значение \(z\) можно найти в таблицах нормального распределения:

\[ z_{0,025} \approx 1,96 \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ ДИ = 50 \pm 1,96 \cdot \frac{0,5}{\sqrt{64}} = 50 \pm 1,96 \cdot \frac{0,5}{8} = 50 \pm 0,1225 \]

Таким образом, доверительный интервал:

\[ [50 - 0,1225; 50 + 0,1225] = [49,8775; 50,1225] \]

б) \(\overline{X}_{B} = 51\) мм; \(n = 49\); \(\alpha = 0,01\)

Для уровня значимости \(\alpha = 0,01\):

\[ z_{0,005} \approx 2,576 \]

Теперь вычислим доверительный интервал:

\[ ДИ = 51 \pm 2,576 \cdot \frac{0,5}{\sqrt{49}} = 51 \pm 2,576 \cdot \frac{0,5}{7} = 51 \pm 0,184 \]

Таким образом, доверительный интервал:

\[ [51 - 0,184; 51 + 0,184] = [50,816; 51,184] \]

в) \(\overline{X}_{B} = 52\) мм; \(n = 36\); \(\alpha = 0,001\)

Для уровня значимости \(\alpha = 0,001\):

\[ z_{0,0005} \approx 3,291 \]

Теперь вычислим доверительный интервал:

\[ ДИ = 52 \pm 3,291 \cdot \frac{0,5}{\sqrt{36}} = 52 \pm 3,291 \cdot \frac{0,5}{6} = 52 \pm 0,274 \]

Таким образом, доверительный интервал:

\[ [52 - 0,274; 52 + 0,274] = [51,726; 52,274] \]

Итоговые доверительные интервалы:

• а) \([49,8775; 50,1225]\)
• б) \([50,816; 51,184]\)
• в) \([51,726; 52,274]\)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!