Найди производную функции у=х⁶-16√х у=5х³sinx y=tg(2x+3) y=2x⁴/3x+1 y= 3x²+5/x³
Давайте найдем производные каждой из предоставленных функций шаг за шагом.
Функция: \( у = х^6 - 16\sqrt{x} \)
Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования:
\[ \frac{du}{dx} = 6x^5 - 16 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 6x^5 - \frac{8}{\sqrt{x}} = 6x^5 - 8x^{-1/2} \]
Таким образом, производная функции \( у \) равна: \[ \frac{du}{dx} = 6x^5 - 8x^{-1/2} \]
Функция: \( у = 5x^3 \sin x \)
Здесь применим правило произведения. Обозначим \( u = 5x^3 \) и \( v = \sin x \):
\[ \frac{du}{dx} = 15x^2 \quad \text{и} \quad \frac{dv}{dx} = \cos x \]
Тогда, по правилу произведения: \[ \frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} = 5x^3 \cos x + \sin x \cdot 15x^2 \]
Продолжая, получаем: \[ \frac{dy}{dx} = 5x^3 \cos x + 15x^2 \sin x \]
Функция: \( y = \tan(2x + 3) \)
Используем правило цепочки для производной тангенса:
\[ \frac{dy}{dx} = \sec^2(2x + 3) \cdot \frac{d}{dx}(2x + 3) = \sec^2(2x + 3) \cdot 2 \]
Значит, производная функции равна: \[ \frac{dy}{dx} = 2\sec^2(2x + 3) \]
Функция: \( y = \frac{2x^4}{3x + 1} \)
Здесь воспользуемся правилом деления. Обозначим \( u = 2x^4 \) и \( v = 3x + 1 \):
Тогда применим правило: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \]
Посчитаем производные: \[ \frac{du}{dx} = 8x^3 \quad \text{и} \quad \frac{dv}{dx} = 3 \]
Подставляем в формулу: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(3x + 1)(8x^3) - (2x^4)(3)}{(3x + 1)^2} \] Упрощая, получаем: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{24x^4 + 8x^3 - 6x^4}{(3x + 1)^2} = \frac{18x^4 + 8x^3}{(3x + 1)^2} \]
Функция: \( y = 3x^2 + \frac{5}{x^3} \)
В данном случае мы можем переписать дробь для удобства:
\[ y = 3x^2 + 5x^{-3} \]
Теперь находим производную: \[ \frac{dy}{dx} = 6x + (-15)x^{-4} = 6x - \frac{15}{x^4} \]
Таким образом, производная функции равна: \[ \frac{dy}{dx} = 6x - \frac{15}{x^4} \]
Если потребуется дальнейшая помощь с объяснением задач или другим материалом, пожалуйста, дайте знать!
