Рёбра основания прямоугольного параллелепипеда равны 17 см и 12 см, а диагональ наименьшей его боковой грани равна 20 см, найдите объем прямоугольного параллелепипеда.
Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, необходимо знать длину его трёх рёбер. У нас даны размеры основания параллелепипеда, которые равны 17 см и 12 см, и диагональ наименьшей боковой грани, равная 20 см.
Обозначим размеры параллелепипеда как:
- \( a = 17 \) см (первая сторона основания),
- \( b = 12 \) см (вторая сторона основания),
- \( h \) — высота.
Для нахождения высоты \( h \) используем диагональ наименьшей боковой грани. Наименьшей гранью, в данном случае, будет сторона с рёбрами \( a \) и \( h \) или \( b \) и \( h \), но поскольку в обеих случаях, мы можем использовать формулу для диагонали прямоугольного треугольника.
Для грани с рёбрами \( 12 \) см и \( h \) см у нас есть формула: \[ d = \sqrt{b^2 + h^2} \] Подставим известные значения: \[ 20 = \sqrt{12^2 + h^2} \] Возведем обе стороны в квадрат: \[ 20^2 = 12^2 + h^2 \] \[ 400 = 144 + h^2 \] Найдем \( h^2 \): \[ h^2 = 400 - 144 = 256 \] Теперь найдем \( h \): \[ h = \sqrt{256} = 16 \text{ см} \]
Теперь, когда мы знаем все размеры параллелепипеда:
- \( a = 17 \) см,
- \( b = 12 \) см,
- \( h = 16 \) см.
Объем \( V \) параллелепипеда можно найти по формуле: \[ V = a \cdot b \cdot h \] Подставим значения: \[ V = 17 \cdot 12 \cdot 16 \]
Сначала посчитаем произведение \( 17 \cdot 12 \): \[ 17 \cdot 12 = 204 \] Теперь умножим на \( 16 \): \[ 204 \cdot 16 = 3264 \text{ см}^3 \]
Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен 3264 см³.
