Школе с углубленным изучением иностранных языков провели опрос среди 100 учащихся. Ученикам задали вопрос: "Какие иностранные языки вы изучаете?". Выяснилось, что 48 учеников изучают английский, 26 - французский, 28 - немецкий. 8 школьников изучают английский и немецкий, 8 - английский и французский, 13 - французский и немецкий. 24 школьника не изучают ни английский, ни французский, ни немецкий. Сколько школьников, прошедших опрос, изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий?
Для решения этой задачи можно использовать принцип включения-исключения.
Обозначим множества:
- \( A \) — ученики, изучающие английский язык.
- \( B \) — ученики, изучающие французский язык.
- \( C \) — ученики, изучающие немецкий язык.
Данные из задачи:
- \( |A| = 48 \) (учащихся изучают английский)
- \( |B| = 26 \) (учащихся изучают французский)
- \( |C| = 28 \) (учащихся изучают немецкий)
- \( |A \cap C| = 8 \) (учащихся изучают английский и немецкий)
- \( |A \cap B| = 8 \) (учащихся изучают английский и французский)
- \( |B \cap C| = 13 \) (учащихся изучают французский и немецкий)
- Количество учеников, не изучающих ни один из языков: 24.
Общее количество учеников: 100. Следовательно, количество учеников, изучающих хотя бы один язык: \[ |A \cup B \cup C| = 100 - 24 = 76. \]
Применяем принцип включения-исключения: \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|. \] Подставляя известные значения, получаем: \[ 76 = 48 + 26 + 28 - 8 - 8 - 13 + |A \cap B \cap C|. \] Упрощаем уравнение: \[ 76 = 48 + 26 + 28 - 29 + |A \cap B \cap C|, \] \[ 76 = 73 + |A \cap B \cap C|. \] Выразим \( |A \cap B \cap C| \): \[ |A \cap B \cap C| = 76 - 73 = 3. \]
Таким образом, количество школьников, которые изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий, равно 3.
