Реши систему уравнений {y=√x y=x-2
Чтобы решить систему уравнений
\[ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = x - 2 \end{cases} \]
сначала подставим выражение для \(y\) из первого уравнения во второе. Получим:
\[ \sqrt{x} = x - 2 \]
Теперь необходимо избавиться от корня. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:
\[ (\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2 \]
Это упрощается до:
\[ x = (x - 2)(x - 2) \]
Раскроем скобки:
\[ x = x^2 - 4x + 4 \]
Теперь перенесем все в одну сторону уравнения:
\[ 0 = x^2 - 5x + 4 \]
Это квадратное уравнение. Теперь можем его решить с помощью формулы разбивки на множители или с использованием дискримината. Первым делом найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]
Так как дискриминант положительный, у нашего уравнения два корня:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \]
Теперь подставим найденные значения \(x\) в первое уравнение, чтобы найти соответствующие \(y\):
Для \(x = 4\): \[ y = \sqrt{4} = 2 \]
Для \(x = 1\): \[ y = \sqrt{1} = 1 \]
Таким образом, система уравнений имеет два решения:
\[ (4, 2) \quad \text{и} \quad (1, 1) \]
Эти пары \((x, y)\) являются решениями данной системы. Если есть дополнительные вопросы, буду рад помочь!
