Корень из 2x-1>2x-3. реши неравенство
Чтобы решить неравенство \( \sqrt{2x - 1} > 2x - 3 \), давайте действовать поэтапно.
Изолируем корень:
Для начала левой части у нас есть корень, который мы можем проанализировать, приняв во внимание, что \( 2x - 1 \) должно быть неотрицательным. Это означает: \[ 2x - 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 2x \geq 1 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{1}{2}. \]Квадратируем обе стороны:
Чтобы избавиться от корня, мы можем возвести обе стороны неравенства в квадрат, при этом важно помнить, что это возможно, если правое выражение всегда больше нуля. Однако для определения границ сначала рассмотрим ситуацию: \[ \sqrt{2x - 1} > 2x - 3 \] Возводим в квадрат: \[ 2x - 1 > (2x - 3)^2. \] Теперь раскроем квадрат: \[ 2x - 1 > 4x^2 - 12x + 9. \] Переносим все элементы в одну сторону: \[ 0 > 4x^2 - 12x + 9 - 2x + 1, \] что упрощается до: \[ 0 > 4x^2 - 14x + 10. \] Умножим на -1 (не забываем поменять знак неравенства): \[ 0 < -4x^2 + 14x - 10 \quad \Rightarrow \quad 4x^2 - 14x + 10 < 0. \]Находим корни квадратного уравнения:
Найдем корни уравнения \( 4x^2 - 14x + 10 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 10 = 196 - 160 = 36. \] Корни: \[ x_1 = \frac{14 + \sqrt{36}}{2 \cdot 4} = \frac{14 + 6}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}, \] \[ x_2 = \frac{14 - \sqrt{36}}{2 \cdot 4} = \frac{14 - 6}{8} = \frac{8}{8} = 1. \]Анализируем интервал:
У нас есть корни \( x_1 = \frac{5}{2} \) и \( x_2 = 1 \). Чтобы определить, на каких промежутках неравенство \( 4x^2 - 14x + 10 < 0 \) выполняется, исследуем знак квадратного трёхчлена на интервалах:- \( x < 1 \)
- \( 1 < x < \frac{5}{2} \)
- \( x > \frac{5}{2} \)
Проверяем значение внутри этих промежутков (например, используя тестовые точки):
- Для \( x = 0 \) (меньше 1): \( 4(0)^2 - 14(0) + 10 > 0 \).
- Для \( x = 2 \) (между 1 и \( \frac{5}{2} \)): \( 4(2)^2 - 14(2) + 10 < 0 \).
- Для \( x = 3 \) (больше \( \frac{5}{2} \)): \( 4(3)^2 - 14(3) + 10 > 0 \).
Таким образом, решение для равенства будет \( 1 < x < \frac{5}{2} \).
Учитываем дополнительное ограничение:
Мы также знаем, что \( x \geq \frac{1}{2} \). Но этот условие не затрагивает наше решение, так как \( 1 \) уже больше \( \frac{1}{2} \).Итоговое решение:
Таким образом, окончательное решение неравенства: \[ (1; \frac{5}{2}). \]
Если у вас остались вопросы или нужна дальнейшая помощь, не стесняйтесь спрашивать!
