Площадь прямоугольника S с пери- метром, равным 16 см, является функцией длины его основания х, Задайте эту функцию формулой Определите, при каком значении х функция принимает наибольшее значение. Дайте геометрическое ис- толкование вашего ответа.
Чтобы найти площадь прямоугольника S, с известным периметром P, можно использовать следующие шаги:
Задание параметров: Пусть длина основания прямоугольника равна \( x \) см, а высота - \( y \) см. Периметр прямоугольника равен 16 см, что можно записать как: \[ P = 2(x + y) = 16 \] Упрощая это уравнение, мы получаем: \[ x + y = 8 \] Отсюда можно выразить высоту \( y \) через основание \( x \): \[ y = 8 - x \]
Площадь прямоугольника: Площадь \( S \) выражается как: \[ S = x \cdot y = x \cdot (8 - x) = 8x - x^2 \] Таким образом, функция площади имеет вид: \[ S(x) = 8x - x^2 \]
Определение максимума функции: Чтобы найти значение \( x \), при котором площадь максимальна, необходимо взять производную функции \( S(x) \) и приравнять её к нулю: \[ S'(x) = 8 - 2x \] Приравняв производную к нулю, получим: \[ 8 - 2x = 0 \implies 2x = 8 \implies x = 4 \]
Геометрическое истолкование результата: При \( x = 4 \) см, высота \( y \) также будет равна 4 см (так как \( y = 8 - x \)). Это означает, что максимальная площадь достигается, когда прямоугольник становится квадратом со сторонами по 4 см. Площадь квадрата в этом случае будет: \[ S = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см}^2 \] Таким образом, максимальная площадь прямоугольника при заданном периметре равна 16 см² и достигается, когда прямоугольник представляет собой квадрат.
