Даны вершины ABC , сделать чертёж. А) уравнение стороны BC и её длину Б)уравнение медианы BD В) уравнение прямой проходящей через точку с ,параллельно прямой AB A(2;-2); B (-7;-1); C(-4;4)
Давайте разберемся с данной задачей шаг за шагом.
1. Чертёж треугольника ABC
Для начала, определим координаты вершин:
- A(2, -2)
- B(-7, -1)
- C(-4, 4)
Можно построить чертёж треугольника ABC, нанеся эти точки на координатной плоскости. Просто соедините точки A, B и C.
А) Уравнение стороны BC и её длина
Находим координаты точек B и C:
- B(-7, -1)
- C(-4, 4)
Выражаем уравнение прямой, проходящей через точки B и C.
Сначала найдём наклон (угловой коэффициент) прямой:
\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - (-1)}{-4 - (-7)} = \frac{5}{3} \]
Теперь мы можем использовать формулу уравнения прямой в виде \(y - y_1 = k(x - x_1)\).
Подставим координаты точки B:
\[ y + 1 = \frac{5}{3}(x + 7) \]
Приведем к стандартному виду:
\[ y + 1 = \frac{5}{3}x + \frac{35}{3} \]
\[ y = \frac{5}{3}x + \frac{32}{3} \]
Итак, уравнение стороны BC:
\[ y = \frac{5}{3}x + \frac{32}{3} \]
- Находим длину отрезка BC:
Используя формулу расстояния между двумя точками:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Подставляем координаты:
\[ d = \sqrt{(-4 - (-7))^2 + (4 - (-1))^2} = \sqrt{(3)^2 + (5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]
Б) Уравнение медианы BD
Медиана BD соединяет точку B с серединой отрезка AC. Сначала найдем координаты середины:
\[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{2 + (-4)}{2}, \frac{-2 + 4}{2} \right) = \left( -1, 1 \right) \]
Теперь находим уравнение прямой BD.
- Наклон медианы BD:
\[ k = \frac{1 - (-1)}{-1 - (-7)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
- Уравнение прямой в виде:
Используем точку B(-7, -1):
\[ y + 1 = \frac{1}{3}(x + 7) \]
Переведем в стандартный вид:
\[ y + 1 = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3} \]
\[ y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3} \]
Таким образом, уравнение медианы BD:
\[ y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3} \]
В) Уравнение прямой, проходящей через точку C параллельно AB
Сначала найдем уравнение прямой AB.
- Наклон прямой AB:
\[ k_{AB} = \frac{-1 - (-2)}{-7 - 2} = \frac{1}{-9} = -\frac{1}{9} \]
- Уравнение прямой AB:
С использованием точки A(2, -2):
\[ y + 2 = -\frac{1}{9}(x - 2) \]
Приведём к стандартному виду:
\[ y + 2 = -\frac{1}{9}x + \frac{2}{9} \]
\[ y = -\frac{1}{9}x - \frac{16}{9} \]
Так как прямая, которую мы ищем, параллельна AB, её наклон будет таким же:
- Уравнение прямой через точку C(-4, 4):
\[ y - 4 = -\frac{1}{9}(x + 4) \]
Приводим к стандартному виду:
\[ y - 4 = -\frac{1}{9}x - \frac{4}{9} \]
\[ y = -\frac{1}{9}x + \frac{32}{9} \]
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку C и параллельной AB:
\[ y = -\frac{1}{9}x + \frac{32}{9} \]
Надеюсь, это поможет вам понять, как решить данную задачу! Если возникнут дополнительные вопросы, задавайте!
