Найдите область определения и множество значений функции y=x+5/x-4
Для функции \( y = \frac{x + 5}{x - 4} \) сначала определим область определения (домен), а затем множество значений (кодомен).
Область определения
Область определения функции включает в себя все значения \( x \), при которых функция определена. Здесь функция может быть неопределенной, если знаменатель равен нулю.
Найдем, когда знаменатель равен нулю:
\[ x - 4 = 0 \implies x = 4 \]
Таким образом, \( x = 4 \) исключается из области определения. В остальном \( x \) может принимать любое другое значение.
Следовательно, область определения функции:
\[ D = \{ x \in \mathbb{R} | x \neq 4 \} \]
или в интервале:
\[ D = (-\infty, 4) \cup (4, +\infty) \]
Множество значений
Теперь определим множество значений функции. Для этого рассмотрим, как функция ведет себя:
Функция \( y = \frac{x + 5}{x - 4} \) может быть записана в виде:
\[ y = 1 + \frac{9}{x - 4} \]
Теперь можем заметить, что значеие \( y \) будет зависеть от \( x - 4 \):
- Если \( x \) стремится к \( 4 \) (слева), \( y \) стремится к \( -\infty \).
- Если \( x \) стремится к \( 4 \) (справа), \( y \) стремится к \( +\infty \).
- Критические точки также находятся, когда \( y = 1 \), но это значение не может быть достигнуто, поскольку оно соответствует \( x = 4 \), где функция не определена.
Таким образом, функция может принимать все значения, кроме \( y = 1 \).
Следовательно, множество значений функции:
\[ Y = \{ y \in \mathbb{R} | y \neq 1 \} \]
или в интервале:
\[ Y = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \]
Итог
Область определения функции \( y = \frac{x + 5}{x - 4} \): \[ D = (-\infty, 4) \cup (4, +\infty) \]
Множество значений функции: \[ Y = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \]
