Запишите уравнение окружности с центром в точке М и радиусом R, где М(-3;2) и R=2. Проходит ли данная окружность через точку D(-3;4)? 2. Запишите уравнение прямой CD, если С(-3;1)…

Давайте поочередно разберем все ваши задания.

1. Уравнение окружности с центром в точке M(-3;2) и радиусом R=2: Уравнение окружности может быть записано в следующем виде: \[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2,\] где \((x_0, y_0)\) — координаты центра, а \(r\) — радиус.

   Подставим значения: \[(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 2^2 \Rightarrow (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4.\]

   Чтобы определить, проходит ли данная окружность через точку D(-3;4), подставим координаты точки D в уравнение окружности: \[( -3 + 3)^2 + (4 - 2)^2 = 0 + 2^2 = 4,\] что верно. Поэтому окружность проходит через точку D.

2. Уравнение прямой CD, если C(-3;1) и D (-5;9): Для нахождения уравнения прямой в общем виде, сначала найдем угол наклона (коэффициент углового наклона) с использованием формулы: \[k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\] где \((x_1, y_1) = C(-3;1)\) и \((x_2, y_2) = D(-5;9)\). Тогда: \[k = \frac{9 - 1}{-5 + 3} = \frac{8}{-2} = -4.\]

   Теперь используя точку C, уравнение прямой в виде \(y - y_1 = k(x - x_1)\): \[y - 1 = -4(x + 3),\] или \[y = -4x - 12 + 1 \Rightarrow y = -4x - 11.\]

3. Найти координаты точки пересечения двух прямых -3x - y + 1 = 0 и 4x + 3y + 7 = 0: Запишем систему уравнений: \[ \begin{cases} -3x - y + 1 = 0 \\ 4x + 3y + 7 = 0 \end{cases} \]

   Перепишем первое уравнение в виде \(y = -3x + 1\) и подставим во второе: \[4x + 3(-3x + 1) + 7 = 0 \Rightarrow 4x - 9x + 3 + 7 = 0 \Rightarrow -5x + 10 = 0 \Rightarrow x = 2.\]

   Подставив \(x = 2\) обратно в первое уравнение: \[y = -3(2) + 1 = -6 + 1 = -5.\]

   Итак, точка пересечения: \((2; -5)\).

4. Прямая задана уравнением 4x + 3y - 24 = 0:
   а) Для нахождения пересечения с осями координат, подставим \(x = 0\) и найдем \(y\): \[4(0) + 3y - 24 = 0 \Rightarrow 3y = 24 \Rightarrow y = 8 \Rightarrow A(0;8).\]

   Теперь, подставим \(y = 0\): \[4x + 3(0) - 24 = 0 \Rightarrow 4x = 24 \Rightarrow x = 6 \Rightarrow B(6;0).\]

   б) Чтобы найти середину отрезка \(AB\): \[M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = M\left(\frac{0 + 6}{2}, \frac{8 + 0}{2}\right) = M(3;4).\]

   в) Найдем длину отрезка \(AB\) по формуле: \[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - 8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.\]

5. Уравнения прямых \(y - x + 4 = 0\) и \(y + 2x - 1 = 0\) пересекаются в точке O: Приведем уравнения к более удобному виду:

   • Первое: \(y = x - 4\)
   • Второе: \(y = -2x + 1\)

   Приравняем \(x - 4\) к \(-2x + 1\): \[x - 4 = -2x + 1 \Rightarrow 3x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3}.\] Подставим назад в одно из уравнений, \(y = \frac{5}{3} - 4 = \frac{5}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{7}{3}.\] Таким образом, точка O имеет координаты \(\left(\frac{5}{3}; -\frac{7}{3}\right)\).

6. Уравнение окружности с центром в точке O(0;0) и проходящей через точку B(2;-1): Уравнение будет: \[x^2 + y^2 = R^2,\] где радиус \(R = \sqrt{(2 - 0)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}.\] Следовательно, уравнение окружности: \[x^2 + y^2 = 5.\] б) Уравнение прямой, которая проходит через точку B и параллельна прямой \(y = -2x + 5\) (коэффициент углового наклона равен -2): Используем точку \(B(2,-1)\): \[y - (-1) = -2(x - 2) \Rightarrow y + 1 = -2x + 4 \Rightarrow y = -2x + 3.\]

Подытожим:

1. Уравнение окружности: \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4\), проходит через D.
2. Уравнение прямой CD: \(y = -4x - 11\).
3. Точка пересечения: \((2; -5)\).
4. Пересечения A(0; 8), B(6; 0), середина M(3; 4), длина AB = 10.
5. Точка O: \(\left(\frac{5}{3}; -\frac{7}{3}\right)\).
6. Уравнение окружности: \(x^2 + y^2 = 5\); уравнение прямой: \(y = -2x + 3\).