0. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 12 см, а её высота, проведённая из вершины тупого угла, де- лит основание в отношении 3 : 2, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Определение среднeй линии трапеции: Средняя линия трапеции равна 12 см. Средняя линия \( m \) равна полусумме оснований \( a \) и \( b \) (где \( a \) — большее основание, \( b \) — меньшее), то есть: \[ m = \frac{a + b}{2} \] Подставляем известное значение: \[ 12 = \frac{a + b}{2} \] Умножим обе стороны на 2: \[ a + b = 24 \quad (1) \]
Определение отношения оснований: Высота делит основание в отношении 3:2, считая от вершины прямого угла. Обозначим длины отрезков:
- Отрезок от вершины прямого угла до точки деления равен \( \frac{3}{5}a \).
- Остальной отрезок равен \( \frac{2}{5}a \).
Это означает, что \( b \) будет равен \( \frac{2}{5}a \). Подставим это значение в уравнение (1): \[ a + \frac{2}{5}a = 24 \] Приведем подобные: \[ \frac{5}{5}a + \frac{2}{5}a = 24 \quad \Rightarrow \quad \frac{7}{5}a = 24 \] Умножим обе стороны на \( \frac{5}{7} \): \[ a = \frac{5 \cdot 24}{7} = \frac{120}{7} \approx 17.14 \text{ см} \]
Нахождение основания \( b \): Теперь, подставляя значение \( a \) в выражение для \( b \): \[ b = \frac{2}{5}a = \frac{2}{5} \cdot \frac{120}{7} = \frac{240}{35} = \frac{48}{7} \approx 6.86 \text{ см} \]
Итак, основания трапеции:
- \( a \approx 17.14 \) см
- \( b \approx 6.86 \) см
Ответ: Основания трапеции равны \( a \approx 17.14 \) см и \( b \approx 6.86 \) см.
