Найдите объем правильной треугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно 4 см.
Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой длина каждого ребра равна 4 см, нужно использовать формулу для объема пирамиды:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_b \cdot h, \]
где \( S_b \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды.
- Находим основание: Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный треугольник. Сначала надо вычислить его площадь. Для правильного треугольника с длиной стороны \( a \) площадь вычисляется по формуле:
\[ S_b = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2. \]
Подставляем \( a = 4 \, \text{см} \):
\[ S_b = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 = 4\sqrt{3} \, \text{см}^2. \]
- Находим высоту пирамиды: Для правильной треугольной пирамиды высота \( h \) находится с помощью формулы:
\[ h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a \sqrt{3}}{3}\right)^2}, \]
где \( l \) — длина ребра пирамиды, а \( a \) — длина стороны основания. В нашем случае \( l = 4 \, \text{см} \), \( a = 4 \, \text{см} \).
Теперь подставим значения:
\[ h = \sqrt{4^2 - \left(\frac{4 \sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{16 - \frac{16 \cdot 3}{9}} = \sqrt{16 - \frac{48}{9}}. \] \[ h = \sqrt{16 - \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{48}{3} - \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{32}{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \, \text{см}. \]
- Вычисляем объем пирамиды: Теперь подставляем значения в формулу для объема:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_b \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{16\sqrt{6}}{9} \, \text{см}^3. \]
Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды со сторонами 4 см составляет \( \frac{16\sqrt{6}}{9} \, \text{см}^3 \).
