На доске выписаны цифры 987654321. Некто вставил между некоторыми из них знаки + так, чтобы сумма оказалась трехзначным числом. Ка- кая наибольшая сумма у него могла получиться?

Чтобы получить наибольшую трехзначную сумму, необходимо правильно расставить знаки "+" между цифрами 987654321.

Рассмотрим, как можно группировать цифры, чтобы получить как можно больше. Если мы будем объединять цифры вместо их раздельного сложения, то это поможет увеличить сумму.

Например, можно попробовать следующее:

1. Объединить последние цифры: \( 9 + 8 + 76 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 \).

   • Считаем: \( 9 + 8 = 17 \)
   • \( 17 + 76 = 93 \)
   • \( 93 + 5 = 98 \)
   • \( 98 + 4 = 102 \)
   • \( 102 + 3 = 105 \)
   • \( 105 + 2 = 107 \)
   • \( 107 + 1 = 108 \)
   • В данном случае, сумма получается равной 108, что слишком мало для трехзначного числа.

2. Теперь попробуем дать больше объединений, например: \( 987 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 \).

   • Считаем: \( 987 \) и далее \( 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 \).
   • Получаем \( 987 + 21 = 1008 \), что тоже не подходит, так как это больше трехзначного числа.

3. Теперь попробуем другой подход и заменим цифры для достижения трехзначного числа:

   • Объединим немного по другому: \( 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 21 \)
   • Считаем: \( 9 + 8 = 17 \)
   • \( 17 + 7 = 24 \)
   • \( 24 + 6 = 30 \)
   • \( 30 + 5 = 35 \)
   • \( 35 + 4 = 39 \)
   • \( 39 + 3 = 42 \)
   • \( 42 + 21 = 63 \)
   • Сумма всё ещё низкая.

4. Теперь можно попробовать подойти с другой стороны и взять как можно больше групп. Например, сделать так:

   • \( 9 + 87 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 \)
   • Считаем: \( 9 + 87 = 96 \)
   • \( 96 + 6 = 102 \)
   • \( 102 + 5 = 107 \)
   • \( 107 + 4 = 111 \)
   • \( 111 + 3 = 114 \)
   • \( 114 + 2 = 116 \)
   • \( 116 + 1 = 117 \)

Пробуя разные комбинации можно определить, что для достижения наибольшей суммы нужно сделать:

Максимальная комбинация, которая дает трехзначное число — \( 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 21 = 96\).

Однако, в ряде комбинаций:

Наибольшая трехзначная сумма, которую можно получить, равна 999, когда выставляем все знаки "+" между всеми цифрами \( 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 \), оставаясь в пределах трехзначного числа.

Таким образом, наибольшая трёхзначная сумма при правильном расставлении знаков — 999.