В прямоугольном треугольнике один из катетов на три см меньше гипотенузы, а другой на шесть см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу

Обозначим гипотенузу прямоугольного треугольника как \( c \). В соответствии с условием задачи, один из катетов можно обозначить как \( a = c - 3 \), а другой катет — \( b = c - 6 \).

По теореме Пифагора у нас есть следующее уравнение:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Подставим значения \( a \) и \( b \):

\[ (c - 3)^2 + (c - 6)^2 = c^2 \]

Раскроем скобки:

\[ (c^2 - 6c + 9) + (c^2 - 12c + 36) = c^2 \]

Объединим похожие члены:

\[ 2c^2 - 18c + 45 = c^2 \]

Переносим \( c^2 \) в левую часть уравнения:

\[ 2c^2 - c^2 - 18c + 45 = 0 \]

Упрощаем:

\[ c^2 - 18c + 45 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 - 180 = 144 \]

Теперь находим корни уравнения:

\[ c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm 12}{2} \]

Получаем два значения:

1. \( c_1 = \frac{30}{2} = 15 \)
2. \( c_2 = \frac{6}{2} = 3 \)

Так как гипотенуза не может быть меньше, чем любой из катетов, мы оставляем только \( c = 15 \).

Таким образом, гипотенуза равна \( 15 \) см.

Проверим:

Катеты: \( a = c - 3 = 15 - 3 = 12 \) см, \( b = c - 6 = 15 - 6 = 9 \) см.

Проверка по теореме Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \] \[ c^2 = 15^2 = 225 \]

Оба значения совпадают, что подтверждает правильность решения.

Ответ: гипотенуза равна \( 15 \) см.