Запись числа 135 135 в системе счисления с основанием q q содержит 3 3 цифры и оканчивается на 7 7. Чему равно максимально возможное основание системы счисления?
Чтобы найти максимально возможное основание системы счисления \( q \) для числа \( 135 \), которое состоит из 3 цифр и оканчивается на \( 7 \), давайте рассмотрим свойства систем счисления.
В системе счисления с основанием \( q \) допустимые цифры — от \( 0 \) до \( q-1 \). Это значит, что последняя цифра (в данном случае \( 7 \)) должна быть меньше \( q \). Следовательно, \( q \) должно быть больше \( 7 \): \[ q > 7 \]
Число \( 135 \) в системе с основанием \( q \) может быть записано как: \[ 1 \cdot q^2 + 3 \cdot q^1 + 7 \cdot q^0 = 135 \] что упрощается до: \[ q^2 + 3q + 7 = 135 \] Переносим \( 135 \) влево: \[ q^2 + 3q + 7 - 135 = 0 \] или \[ q^2 + 3q - 128 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-128) = 9 + 512 = 521 \]
Найдем корни уравнения: \[ q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{521}}{2} \] Корень \( \sqrt{521} \) примерно равен \( 22.8 \). Таким образом, находим: \[ q = \frac{-3 + 22.8}{2} \approx \frac{19.8}{2} \approx 9.9 \quad (\text{игнорируем } -3 - \sqrt{D}, \text{так как основание не может быть отрицательным}) \]
Поскольку основание должно быть целым числом, наибольшее возможное основание \( q \), которое больше \( 7 \) и при этом больше или равно \( 10 \), равно \( 10 \).
Проверим, действительно ли в основании \( 10 \) запись числа \( 135 \) корректна: \[ 1 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0 = 100 + 30 + 7 = 137 \] Это больше \( 135 \), а при \( q = 9 \): \[ 1 \cdot 9^2 + 3 \cdot 9^1 + 7 \cdot 9^0 = 81 + 27 + 7 = 115 \] Это уже меньше \( 135 \).
Таким образом, максимально возможное основание системы счисления \( q \) для числа \( 135 \), записанного тремя цифрами и оканчивающегося на \( 7 \), равно \( 9 \).
