Две планеты с одинаковыми массами вращаются по круговым орбитам вокруг звезды. для первой из них сила притяжения к звезде в 9 раз больше чем для второй. каково отношение радиусов орбит второй планеты к первой?
Для решения этой задачи воспользуемся законом всемирного притяжения и формулой для центростремительного ускорения.
Сила притяжения \( F \) между планетой и звездой можно выразить через закон всемирного притяжения следующим образом:
\[ F = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2} \]
где:
- \( G \) — гравитационная постоянная,
- \( M \) — масса звезды,
- \( m \) — масса планеты,
- \( r \) — радиус орбиты планеты.
По условию задачи мы знаем, что для первой планеты сила притяжения \( F_1 \) в 9 раз больше, чем для второй планеты \( F_2 \):
\[ F_1 = 9 F_2 \]
Таким образом,
\[ \frac{G \cdot M \cdot m}{r_1^2} = 9 \cdot \frac{G \cdot M \cdot m}{r_2^2} \]
Можно упростить это уравнение, сокращая одинаковые множители \( G \), \( M \) и \( m \):
\[ \frac{1}{r_1^2} = \frac{9}{r_2^2} \]
Теперь, взаимно умножая обе стороны уравнения на \( r_1^2 \cdot r_2^2 \), мы получим:
\[ r_2^2 = 9 \cdot r_1^2 \]
Теперь найдем отношение радиусов орбит:
\[ \frac{r_2}{r_1} = \sqrt{9} = 3 \]
Таким образом, отношение радиусов орбит второй планеты к первой составляет:
\[ \frac{r_2}{r_1} = 3 \]
Это означает, что радиус орбиты второй планеты в 3 раза больше радиуса орбиты первой планеты.
