Тело свободно падает с высоты h без начальной скорости. За последнюю секунду оно проходит расстояние S = 25 м. Найти h.

Чтобы решить задачу, давайте воспользоваться формулами движения при свободном падении.

Для тела, падающего с высоты h без начальной скорости, можно использовать следующую формулу для расстояния, которое оно проходит за время t:

\[ S_t = \frac{g t^2}{2}, \]

где \( g \) — ускорение свободного падения (примерно 9.81 м/с²), а \( t \) — время падения.

Также известно, что в последнюю секунду падения оно проходит расстояние \( S = 25 \) м. Это можно выразить через разницу между расстоянием, пройденным за весь период \( (t + 1) \) секунд, и расстоянием, пройденным за \( t \) секунд:

\[ S = S_{t+1} - S_{t}. \]

Расстояние, пройденное за \( t+1 \) секунд, можно записать как:

\[ S_{t+1} = \frac{g (t+1)^2}{2} \]

А расстояние за \( t \) секунд — как:

\[ S_{t} = \frac{g t^2}{2}. \]

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

\[ 25 = \frac{g (t+1)^2}{2} - \frac{g t^2}{2}. \]

Упростим это уравнение:

\[ 25 = \frac{g}{2} \left( (t+1)^2 - t^2 \right). \]

Раскроем скобки:

\[ (t+1)^2 - t^2 = t^2 + 2t + 1 - t^2 = 2t + 1. \]

Теперь у нас есть:

\[ 25 = \frac{g}{2} (2t + 1). \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ 50 = g (2t + 1) \]

Теперь подставим значение \( g \):

\[ 50 = 9.81 (2t + 1). \]

Разделим обе стороны на 9.81:

\[ 2t + 1 = \frac{50}{9.81} \approx 5.1. \]

Теперь решим относительно \( t \):

\[ 2t = 5.1 - 1 = 4.1 \implies t \approx 2.05 \text{ с}. \]

Теперь, чтобы найти высоту \( h \), подставим \( t \) в формулу для расстояния:

\[ h = S_{t} = \frac{g t^2}{2} = \frac{9.81 (2.05)^2}{2}. \]

Посчитаем это значение:

\[ h = \frac{9.81 \cdot 4.2025}{2} \approx \frac{41.227725}{2} \approx 20.61 \text{ м}. \]

Таким образом, высота \( h \) составляет примерно 20.61 метра.