На концерте каждую песню исполняли двое артистов, и никакая пара не выступила вместе более одного раза всего ьыло 12 артистов , каждый выступил по 5 раз. сколько песен было спето?

Для решения этой задачи, давайте сначала определим, сколько пар артистов может быть образовано из 12 артистов. Количество способов выбрать 2 артиста из 12 можно вычислить с помощью формулы комбинаторики:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n \) — общее количество артистов, а \( k \) — количество артистов в паре. В нашем случае это:

\[ C(12, 2) = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66 \]

Таким образом, можно образовать 66 уникальных пар артистов.

Теперь, поскольку каждый артист исполнил 5 песен, общее количество выступлений будет равно:

\[ Общее количество выступлений = 12 \times 5 = 60 \]

Однако каждое выступление — это пара артистов, и так как каждая пара выступила только один раз, мы можем сказать, что количество песен равно количеству уникальных выступлений, т.е. количеству пар.

Таким образом, чтобы узнать, сколько песен было спето, нужно поделить общее количество выступлений на 1 (так как в каждом выступлении исполнялась одна песня):

\[ Количество песен = \frac{60}{1} = 60 \]

Итак, всего было спето 60 песен.