Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были 3 черных?

Для решения этой задачи можно использовать комбинаторику. Нам нужно выбрать 7 шаров, из которых должно быть 3 черных. Это означает, что оставшиеся 4 шара должны быть белыми.

Шаг 1: Выбор черных шаров

Сначала выберем 3 черных шара из 5 имеющихся. Количество способов выбрать 3 черных шара можно найти с помощью формулы сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n \) – это общее количество элементов (в нашем случае 5 черных шаров), а \( k \) – количество элементов, которые мы хотим выбрать (в нашем случае 3):

\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

Шаг 2: Выбор белых шаров

Теперь выбираем 4 белых шара из 10 имеющихся. Опять используем формулу сочетаний:

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210 \]

Шаг 3: Общее количество способов

Теперь, чтобы найти общее количество способов выбрать 7 шаров с 3 черными и 4 белыми, перемножим количество способов выбора черных и белых шаров:

\[ Общее количество = C(5, 3) \times C(10, 4) = 10 \times 210 = 2100 \]

Таким образом, существует 2100 способов выбрать 7 шаров, среди которых будут 3 черных.