На рисунке изображён прямоугольник ABCD. Точки K, L, M, N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику LMN.

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD принадлежит треугольнику LMN, следуйте этим шагам:

1. Определим координаты точек: Пусть прямоугольник ABCD расположен в координатной системе так, что:

   • A(0, 0)
   • B(a, 0)
   • C(a, b)
   • D(0, b) Здесь a и b — длины сторон прямоугольника.

2. Найдем координаты середины сторон:

   • K — середина стороны AB: K\((\frac{a}{2}, 0)\)
   • L — середина стороны BC: L\((a, \frac{b}{2})\)
   • M — середина стороны CD: M\((\frac{a}{2}, b)\)
   • N — середина стороны DA: N\((0, \frac{b}{2})\)

3. Найдем площадь треугольника LMN: Площадь треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| \] Подставляя координаты L, M и N: \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \cdot \left| a \left(\frac{b}{2} - b\right) + \frac{a}{2} \left(b - \frac{b}{2}\right) + 0 \left(\frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right) \right| \] Упрощая, получаем: \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \cdot \left| a \cdot \left(-\frac{b}{2}\right) + \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} \right| = \frac{1}{2} \cdot \left| -\frac{ab}{2} + \frac{ab}{4} \right| = \frac{1}{2} \cdot \left| -\frac{ab}{4} \right| = \frac{ab}{8} \]

4. Определим площадь всего прямоугольника ABCD: Площадь прямоугольника равна: \[ S_{ABCD} = a \cdot b \]

5. Найдем вероятность принадлежности случайной точки треугольнику LMN: Вероятность P можно найти как отношение площади треугольника к площади прямоугольника: \[ P = \frac{S_{LMN}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{8}}{ab} = \frac{1}{8} \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать треугольнику LMN, составляет \(\frac{1}{8}\).