в равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см, найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Чтобы найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, можно воспользоваться следующей формулой:
\[ r = \frac{S}{p} \]
где \( r \) – радиус вписанной окружности, \( S \) – площадь треугольника, \( p \) – полупериметр треугольника.
- Находим полупериметр \( p \):
В равнобедренном треугольнике основание равно \( a = 10 \) см, а боковая сторона равна \( b = 13 \) см.
Полупериметр вычисляется по формуле:
\[ p = \frac{a + 2b}{2} = \frac{10 + 2 \times 13}{2} = \frac{10 + 26}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, \text{см} \]
- Находим площадь \( S \):
Для нахождения площади равнобедренного треугольника можно использовать формулу:
\[ S = \frac{a \cdot h}{2} \]
где \( h \) – высота треугольника. Чтобы найти высоту, можно провести перпендикуляр из вершины треугольника к основанию. Эта высота разделит треугольник на два прямоугольных.
Используя теорему Пифагора, найдём высоту \( h \):
Длина половины основания составит:
\[ \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{см} \]
Теперь подставим значение в теорему Пифагора:
\[ h^2 + 5^2 = 13^2 \] \[ h^2 + 25 = 169 \] \[ h^2 = 169 - 25 \] \[ h^2 = 144 \] \[ h = 12 \, \text{см} \]
Теперь можем найти площадь \( S \):
\[ S = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60 \, \text{см}^2 \]
- Находим радиус вписанной окружности \( r \):
Теперь подставим найденные \( S \) и \( p \) в формулу для радиуса:
\[ r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \, \text{см} \]
Итак, радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, составляет \( \frac{10}{3} \) см или примерно 3.33 см.
