В треугольник с основанием АС = 5 см и высотой BD = 14 см вписан квадрат KLMN так, что сторона KN лежит на основании АС, а вершины L и М - соответственно на сторонах АВ и ВС. Определи длину стороны квадрата. (Если в ответе получилось целое число, запиши в знаменателе 1. Не забывай сокращать дробь в ответе!) Длина стороны квадрата равна -СM.

Question 1

Задача Задача №2492327

А

Аноним

14 декабря 2024 02:46 · публичный вопрос

А

Аноним 14 декабря 2024 02:46

В треугольник с основанием АС = 5 см и высотой BD = 14 см вписан квадрат KLMN так, что сторона KN лежит на основании АС, а вершины L и М - соответственно на сторонах АВ и ВС. Определи длину стороны квадрата. (Если в ответе получилось целое число, запиши в знаменателе 1. Не забывай сокращать дробь в ответе!) Длина стороны квадрата равна -СM.

Answer

Для того чтобы определить длину стороны квадрата \( KLMN \), вписанного в треугольник \( ABC \) с основанием \( AC = 5 \, \text{см} \) и высотой \( BD = 14 \, \text{см} \), воспользуемся свойствами подобных треугольников.

Обозначим длину стороны квадрата \( x \).

Квадрат \( KLMN \) стоит на основании \( AC \), а его верхние углы \( L \) и \( M \) касаются сторон \( AB \) и \( BC \) соответственно. При этом:

Треугольник \( ABD \) подобен треугольнику \( ALK \) (по углу и стороне).
Треугольник \( BDC \) подобен треугольнику \( BMC \).

Сначала найдем высоту \( h_1 \) треугольника \( ABD \):

\[ h_1 = BD - x = 14 - x \]

По подобию треугольников имеем:

\[ \frac{h_1}{AB} = \frac{x}{AC} \]

Пусть \( AB = y \) (длину \( AB \) мы можем выразить через площади треугольника).

Площадь треугольника \( ABC \):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 14 = 35 \, \text{см}^2 \]

Теперь площадь треугольника \( ABD \) будет равна:

\[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot (14 - x) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (14 - x) \]

Также можем выразить площадью через \( AB \):

\[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot (x) = \frac{1}{2} \cdot y \cdot x \]

Равенство площадей:

\[ \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (14 - x) = \frac{1}{2} \cdot y \cdot x \]

Торопиться не стоит, прежде чем продолжить, давайте найдем выражение для площади треугольника \( BDC \):

Подход аналогичен, и в сумме из-за подобия:

\[ \frac{h_2}{BC} = \frac{x}{AC} \]

Таким образом, для треугольника \( BDC \):

\[ h_2 = BD - x = 14 - x \]

Где:

\[ S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot (14 - x) \]

Записав всё вместе и учитывая, что \( AC \) и высоты равны, можно сложить виртуальные углы с высотами квадратов, приводя к получению значения \( x \).

В результате получится, что:

\[ x = \frac{70}{14 + 5} = \frac{70}{19} \approx 3.68 \]

Сразу подставим \( \frac{70}{19} \) в ответ:

Длина стороны квадрата равна \( \frac{70}{19} \, \text{см} \).

Question 2

В треугольник с основанием АС = 5 см и высотой BD = 14 см вписан квадрат KLMN так, что сторона KN лежит на основании АС, а вершины L и М - соответственно на сторонах АВ и ВС. Определи длину стороны квадрата. (Если в ответе получилось целое число, запиши в знаменателе 1. Не забывай сокращать дробь в ответе!) Длина стороны квадрата равна -СM.

Answer

Для того чтобы определить длину стороны квадрата \( KLMN \), вписанного в треугольник \( ABC \) с основанием \( AC = 5 \, \text{см} \) и высотой \( BD = 14 \, \text{см} \), воспользуемся свойствами подобных треугольников. Обозначим длину стороны квадрата \( x \). Квадрат \( KLMN \) стоит на основании \( AC \), а его верхние углы \( L \) и \( M \) касаются сторон \( AB \) и \( BC \) соответственно. При этом: 1. Треугольник \( ABD \) подобен треугольнику \( ALK \) (по углу и стороне). 2. Треугольник \( BDC \) подобен треугольнику \( BMC \). Сначала найдем высоту \( h_1 \) треугольника \( ABD \): \[ h_1 = BD - x = 14 - x \] По подобию треугольников имеем: \[ \frac{h_1}{AB} = \frac{x}{AC} \] Пусть \( AB = y \) (длину \( AB \) мы можем выразить через площади треугольника). Площадь треугольника \( ABC \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 14 = 35 \, \text{см}^2 \] Теперь площадь треугольника \( ABD \) будет равна: \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot (14 - x) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (14 - x) \] Также можем выразить площадью через \( AB \): \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot (x) = \frac{1}{2} \cdot y \cdot x \] Равенство площадей: \[ \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (14 - x) = \frac{1}{2} \cdot y \cdot x \] Торопиться не стоит, прежде чем продолжить, давайте найдем выражение для площади треугольника \( BDC \): Подход аналогичен, и в сумме из-за подобия: \[ \frac{h_2}{BC} = \frac{x}{AC} \] Таким образом, для треугольника \( BDC \): \[ h_2 = BD - x = 14 - x \] Где: \[ S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot (14 - x) \] Записав всё вместе и учитывая, что \( AC \) и высоты равны, можно сложить виртуальные углы с высотами квадратов, приводя к получению значения \( x \). В результате получится, что: \[ x = \frac{70}{14 + 5} = \frac{70}{19} \approx 3.68 \] Сразу подставим \( \frac{70}{19} \) в ответ: Длина стороны квадрата равна \( \frac{70}{19} \, \text{см} \).