Решите уравнение (x-4)⁴-4(x-4)²-21=0

Давайте решим уравнение \((x-4)^4 - 4(x-4)^2 - 21 = 0\).

Для упрощения обозначим \(y = (x-4)^2\). Тогда уравнение преобразуется в

\[ y^2 - 4y - 21 = 0. \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \(a = 1\), \(b = -4\), и \(c = -21\).

Подставим значения:

\[ y = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{4 \pm 10}{2}. \]

Теперь рассмотрим два случая:

1. \(y_1 = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7\),
2. \(y_2 = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3\).

Поскольку \(y = (x-4)^2\), отрицательное значение \(y_2 = -3\) не имеет смысла, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Рассмотрим только \(y_1 = 7\):

Теперь вернёмся к \(x\):

\[ (x - 4)^2 = 7. \]

Извлечём квадратный корень из обеих сторон:

\[ x - 4 = \sqrt{7} \quad \text{или} \quad x - 4 = -\sqrt{7}. \]

Теперь добавим 4 к обеим частям:

1. \(x = 4 + \sqrt{7}\),
2. \(x = 4 - \sqrt{7}\).

Таким образом, решения уравнения:

\[ x = 4 + \sqrt{7} \quad \text{и} \quad x = 4 - \sqrt{7}. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!