Решить систему дифференциальных уравнений и нарисовать фазовый портрет x'=-x-5y y'=x+y

Чтобы решить систему дифференциальных уравнений

\[ \begin{cases} x' = -x - 5y \\ y' = x + y \end{cases} \]

можно использовать метод собственных значений и собственных векторов.

Сначала перепишем систему в матричной форме:

\[ \mathbf{u'} = A \mathbf{u}, \]

где

\[ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} -1 & -5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. \]

Далее, найдем собственные значения матрицы \( A \). Для этого решим характеристическое уравнение:

\[ \det(A - \lambda I) = 0, \]

где \( I \) – единичная матрица, а \( \lambda \) – собственные значения.

\[ \det\left(\begin{pmatrix} -1 - \lambda & -5 \\ 1 & 1 - \lambda \end{pmatrix}\right) = (-1 - \lambda)(1 - \lambda) - (-5)(1) = \lambda^2 + \lambda + 4 = 0. \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15. \]

Поскольку дискриминант отрицателен, у нас есть комплексные собственные значения:

\[ \lambda_{1,2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{15}}{2}. \]

Теперь найдем собственные векторы, подставив \( \lambda \) обратно в уравнение \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \).

Допустим, возьмем \( \lambda_1 = \frac{-1 + i\sqrt{15}}{2} \). Подставляем его в уравнение:

\[ \begin{pmatrix} -1 - \frac{-1 + i\sqrt{15}}{2} & -5 \\ 1 & 1 - \frac{-1 + i\sqrt{15}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = 0. \]

Решая полученные уравнения, находим собственный вектор.

Теперь, используя собственные значения и собственные векторы, можно записать общий вид решения системы:

\[ \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = e^{\frac{-t}{2}} \left( C_1 \cos\left(\frac{\sqrt{15}}{2} t\right) + C_2 \sin\left(\frac{\sqrt{15}}{2} t\right) \right), \]

где \( C_1 \) и \( C_2 \) – константы, зависящие от начальных условий.

Что касается фазового портрета, его можно построить, нарисовав векторные поля для системы уравнений. Для этого можно использовать численные методы или графические программы для построения решения (например, используя Python с библиотеками Matplotlib и NumPy).

Приблизительное изображение фазового портрета будет представлять собой спираль, которая приближается к фиксированной точке в начале координат (0,0), так как система имеет стабильный фокус.

Если у вас есть дополнительные вопросы или хотите углубиться в конкретные аспекты, дайте знать!