Производная функция (х+2)^3√х

Для нахождения производной функции \( f(x) = (x+2)^3 \sqrt{x} \) будем использовать правило произведения и правила для дифференцирования.

1. Перепишем функцию в более удобной форме: \[ f(x) = (x+2)^3 \cdot x^{1/2} \]

2. Применяем правило произведения. Если у нас есть функция \( u(x) = (x+2)^3 \) и \( v(x) = x^{1/2} \), то производная их произведения вычисляется по формуле: \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]

3. Теперь найдем производные \( u'(x) \) и \( v'(x) \):

   • Для \( u(x) = (x+2)^3 \) используем правило цепочки: \[ u'(x) = 3(x+2)^2 \cdot (1) = 3(x+2)^2 \]
   • Для \( v(x) = x^{1/2} \): \[ v'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

4. Подставим найденные производные в формулу: \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 3(x+2)^2 \cdot x^{1/2} + (x+2)^3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

5. Теперь можем объединить эти два слагаемых: \[ f'(x) = 3(x+2)^2 \sqrt{x} + \frac{(x+2)^3}{2\sqrt{x}} \]

6. Если необходимо, можем привести к общему знаменателю: \[ f'(x) = \frac{6(x+2)^2 x + (x+2)^3}{2\sqrt{x}} = \frac{(x+2)^2 (6x + (x+2))}{2\sqrt{x}} = \frac{(x+2)^2 (7x + 2)}{2\sqrt{x}} \]

Таким образом, производная функции \( (x+2)^3 \sqrt{x} \) равна: \[ f'(x) = \frac{(x+2)^2(7x + 2)}{2\sqrt{x}} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!