Найдите производную функцию (х-1)√х

Чтобы найти производную функции \( f(x) = (x - 1) \sqrt{x} \), мы воспользуемся правилом произведения.

Правило произведения гласит, что если у нас есть две функции \( u(x) \) и \( v(x) \), то производная их произведения \( f(x) = u(x) v(x) \) рассчитывается по формуле:

\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]

В нашем случае:

• \( u(x) = x - 1 \)
• \( v(x) = \sqrt{x} \)

Теперь найдем производные \( u'(x) \) и \( v'(x) \):

1. \( u'(x) = 1 \) (производная функции \( x - 1 \))
2. Для \( v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \): \[ v'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

Теперь подставим все в формулу для производной:

\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = (1) \cdot \sqrt{x} + (x - 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

Упрощаем:

\[ f'(x) = \sqrt{x} + \frac{x - 1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{1}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

Теперь объединим все под общим знаменателем:

\[ f'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x}} + \frac{x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{(2x + x - 1)}{2\sqrt{x}} = \frac{3x - 1}{2\sqrt{x}} \]

Таким образом, производная функции \( f(x) = (x - 1) \sqrt{x} \) равна:

\[ f'(x) = \frac{3x - 1}{2\sqrt{x}} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужны разъяснения, не стесняйтесь спрашивать!