Lim

Конечно! Давай разберемся, как решить эти задачи на пределы.

1. Задача (б):

   Вычислить предел \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}\).

   Решение:

   При \(x \to 0\), выражение \(\frac{\sin 3x}{x}\) напоминает классический предел \(\frac{\sin x}{x} = 1\).

   Здесь, чтобы использовать этот предел, мы преобразуем:

   \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = 3 \cdot 1 = 3 \]

   Таким образом, предел равен 3.

2. Задача (в):

   Вычислить предел \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^x\).

   Решение:

   Этот предел напоминает экспоненциальное выражение, связанное с \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e\) при \(n \to \infty\).

   Замена: \(n = \frac{x}{k}\). Тогда:

   \(\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{kn}\)

   При больших значениях \(x\), это выражение стремится к \(e^k\).

   Таким образом, предел равен \(e^k\).

Если есть вопросы, дай знать! 😊