2 ,по правилу лоптьаля
Привет! Давай разберем эти задачи вместе.
Вычислить предел функции, не используя правило Лопиталя.
а) Найдем предел:
\[ \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x + a} - \sqrt{x}\right) \]
Для этого умножим и разделим на сопряженное выражение:
\[ \frac{(\sqrt{x + a} - \sqrt{x})(\sqrt{x + a} + \sqrt{x})}{\sqrt{x + a} + \sqrt{x}} = \frac{x + a - x}{\sqrt{x + a} + \sqrt{x}} \]
\[ = \frac{a}{\sqrt{x + a} + \sqrt{x}} \]
При \(x \to \infty\), знаменатель стремится к \(2\sqrt{x}\), так что предел равен \[ \frac{a}{\infty} = 0 \]
б) \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}\)
Для малого \(x\), \(\sin 3x \approx 3x\).
Предел: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3 \]
в) \(\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x\)
Это известный предел, который равен \(e\).
Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя.
Предел \( \lim_{x \to 0} x^2 e^{\frac{1}{x}}\).
Здесь используется экспонент — нужно сделать замену: \(t = \frac{1}{x}\), тогда \(x \to 0\) соответствует \(t \to \infty\).
Выражение станет \( \lim_{t \to \infty} \frac{e^t}{t^2} \).
Применив Лопиталь дважды, получим \(\lim_{t \to \infty} \frac{e^t}{2t} = \infty\).
Производные
а) \(y = x^x\). Используем логарифмирование:
Натуральный логарифм: \(\ln y = x\ln x\),
Производная: \(\frac{dy}{dx} = x^x(\ln x + 1)\).
б) \(y = 3x^y - 3x^2 = 0\).
Используем неявное дифференцирование.
в) \(z = a\cos (bp)\).
Производная: \(\frac{dz}{dp} = -ab\sin(bp)\).
Найти дифференциал второго порядка для \(v = \sqrt{a^2 - x^2}\).
Второй дифференциал: производная второго порядка:
\(v' = \frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2}}\).
Расположить по формуле Тейлора
\(f(x) = x e^{x^2}\), \(x_0 = 1\).
\(f'(x) = e^{x^2} + 2x^2e^{x^2}\).
Раскладываем в ряд Тейлора относительно точки \(x_0 = 1\), добавляя члены:
\(f(x) \approx f(1) + f'(1)(x - 1)+\ldots\)
Если нужно еще что-то пояснить, дай знать!
