Задание 1. Представить в тригонометрической форме комплексное число z = - 3+3i
Чтобы представить комплексное число \( z = -3 + 3i \) в тригонометрической форме, нам нужно сначала найти его модуль и аргумент.
- Модуль комплексного числа вычисляется по формуле:
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
где \( a \) — действительная часть, а \( b \) — мнимая часть. В нашем случае:
- \( a = -3 \)
- \( b = 3 \)
Подставим значения в формулу:
\[ |z| = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]
- Аргумент (угол) комплексного числа можно найти с помощью формулы:
\[ \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \]
В нашем случае:
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{-3}\right) = \arctan(-1) \]
Аргумент будет равен \( -\frac{\pi}{4} \), но наше число находится в 2-й четверти (из-за того что действительная часть отрицательная, а мнимая положительная), поэтому корректируем аргумент. В 2-й четверти угол \( \theta \) равен:
\[ \theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \]
- Теперь можем записать комплексное число в тригонометрической форме:
\[ z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) \]
Подставим найденные значения:
\[ z = 3\sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right) \]
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа \( z = -3 + 3i \) выглядит так:
\[ z = 3\sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right) \]
Если у вас появятся дополнительные вопросы по теме, не стесняйтесь задавать!
