В правильной треугольной пирамиде сторона основания 5 дм, боковое ребро 4 дм. Найдите объем пирамиды.
Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, нужно использовать формулу:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h \]
где \( V \) — объем пирамиды, \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды.
- Находим площадь основания: основание пирамиды — правильный треугольник со стороной 5 дм. Площадь правильного треугольника можно вычислить по формуле:
\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \]
где \( a \) — длина стороны треугольника.
Подставим значения:
\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 5^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 25 = \frac{25\sqrt{3}}{4} \, \text{дм}^2 \]
- Находим высоту пирамиды: для этого воспользуемся свойствами треугольников. В правильной треугольной пирамиде высота проходит из вершины пирамиды (с вершиной \( V \)) перпендикулярно к основанию, и делит основание пополам.
Сначала найдем радиус описанной окружности треугольника, который равен расстоянию от центра основания до вершины. Половина стороны треугольника составляет:
\[ \frac{5}{2} \, \text{дм} \]
По теореме Пифагора (где боковое ребро \( l = 4 \, \text{дм} \)), высота \( h \) будет равна:
\[ l^2 = h^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 \]
Подставим известные значения:
\[ 4^2 = h^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 \] \[ 16 = h^2 + \frac{25}{4} \] \[ h^2 = 16 - \frac{25}{4} = \frac{64}{4} - \frac{25}{4} = \frac{39}{4} \] \[ h = \sqrt{\frac{39}{4}} = \frac{\sqrt{39}}{2} \, \text{дм} \]
- Теперь подставим значения в формулу для объема:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{39}}{2} \]
Упростим это выражение:
\[ V = \frac{25\sqrt{3} \cdot \sqrt{39}}{24} \]
Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен:
\[ V = \frac{25\sqrt{117}}{24} \, \text{дм}^3 \]
Это окончательный результат для объема данной пирамиды! Если есть вопросы по причинам или расчетам, не стесняйтесь спрашивать!
