Вершины равностороннего Д АКМ лежат на окружности. Докажите, что L AOK = L KOM = L MOA.

Давайте докажем, что углы \( \angle AOK \), \( \angle KOM \) и \( \angle MOA \) равны.

Пусть \( O \) — центр окружности, на которой лежат вершины равностороннего треугольника \( ABC \). Вершины треугольника \( ABC \) назовем \( A \), \( K \) и \( M \) так, что они расположены на окружности.

Поскольку треугольник \( AKM \) равносторонний, углы при его вершинах равны 60°. Поэтому, обозначив углы, имеем:

\[ \angle AKM = \angle KAM = \angle AMK = 60^\circ. \]

Эти углы связаны с углами, образованными радиусами, проведёнными из центра \( O \) к точкам \( A \), \( K \) и \( M \):

\[ \angle AOK = \frac{1}{2} \angle AKM, \] \[ \angle KOM = \frac{1}{2} \angle KAM, \] \[ \angle MOA = \frac{1}{2} \angle AMK. \]

Так как углы \( \angle AKM \), \( \angle KAM \) и \( \angle AMK \) все равны 60°, получаем:

\[ \angle AOK = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ, \] \[ \angle KOM = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ, \] \[ \angle MOA = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ. \]

Таким образом, мы видим, что:

\[ \angle AOK = \angle KOM = \angle MOA = 30^\circ. \]

Следовательно, доказываем, что углы \( \angle AOK \), \( \angle KOM \) и \( \angle MOA \) равны, что и требовалось доказать.