ГОУ ВПО «Донбасская национальная академия строительства и архитектуры» Кафедра ВМиИ Учебный предмет: “Математика” Семестр I Направление 08.03.01 Строительство РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №1 Тема “ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ” Вариант №1 1. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса. − + − = = + − = − + − 3 6 3 8 2 9 10 4 7 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 2. Найти косинус угла между векторами AB и AC , если A(1,-2,3), B(0,-1,2), C(3,-4,5). 3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b : { − 0;1;5 } a = , {− 4;3;2 } b = . 4. Компланарны ли векторы a ,b и с , если { 1;3;2 } a = , {− −1;0;1 } b = , { 2;2;2 } c = . 5. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку A перпендикулярно вектору BС , если A(1,0,-2), B(2,-1,3), C(0,-3,2). 6. Найти точку пересечения прямой и плоскости: 4 1 1 3 1 2 + = − − = − − z y x , x + y + 3z −14 = 0. 7. Найти асимптоты гиперболы 1 16 9 2 2 = − y x . Построить график.
Конечно! Давайте решим каждую из задач по порядку.
1. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.
Система уравнений: \[ \begin{cases} -3x_1 + 6x_2 - 3x_3 = 3 \\ 8x_1 + 2x_2 + 9x_3 = 10 \\ 4x_1 - 3x_2 + 7x_3 = 3 \end{cases} \]
По правилу Крамера: Для применения правила Крамера нам нужно сначала найти определитель матрицы коэффициентов \( D \):
\[ D = \begin{vmatrix} -3 & 6 & -3 \\ 8 & 2 & 9 \\ 4 & -3 & 7 \end{vmatrix} \]
Теперь вычисляем этот определитель.
По методу Гаусса: Приведем систему к ступенчатому виду, а затем найдем значения переменных.
- Записываем коэффициенты в виде матрицы:
\[ \begin{pmatrix} -3 & 6 & -3 & | & 3 \\ 8 & 2 & 9 & | & 10 \\ 4 & -3 & 7 & | & 3 \end{pmatrix} \]
- Применяем элементарные преобразования, чтобы привести к верхне-треугольному виду.
(Эти шаги могут требовать вычислений, которые нужно выполнить вручную.)
2. Найти косинус угла между векторами AB и AC.
Вектор AB: \[ B(0, -1, 2) - A(1, -2, 3) = (-1, 1, -1) \]
Вектор AC: \[ C(3, -4, 5) - A(1, -2, 3) = (2, -2, 2) \]
Косинус угла между векторами определяется по формуле:
\[ \cos(\theta) = \frac{AB \cdot AC}{|AB| \cdot |AC|} \]
Сначала найдем скалярное произведение и длины векторов.
3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.
Векторы: \[ a = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Площадь параллелограмма равна норме векторного произведения \( a \times b \).
4. Компланарны ли векторы a, b и c.
Чтобы проверить компланарность, можем составить матрицу из векторов и найти её определитель:
\[ D = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} \]
Если \( D = 0 \), векторы компланарны.
5. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку A перпендикулярно вектору BC.
Вектор BC: \[ C(0, -3, 2) - B(2, -1, 3) = (-2, -2, -1) \]
Уравнение плоскости имеет вид: \[ n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0, \] где \( n = (-2, -2, -1) \) и \( A(1, 0, -2) \).
6. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
Прямая: \[ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 - t \\ z = 2 + 3t \end{cases} \]
Подставим параметрические уравнения в уравнение плоскости \( x + y + 3z - 14 = 0 \) и найдём значение \( t \).
7. Найти асимптоты гиперболы и построить график.
Уравнение гиперболы: \[ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \]
Асимптоты определяются как \( y = \pm \frac{3}{4}x \).
Эти уравнения позволяют найти асимптоты и построить график параболы.
Если у вас возникнут трудности с конкретными расчетами, я буду рад помочь с разъяснениями!
