По пути из пункта A в пункт B асфальтированная дорога переходит в грунтовую. Грузовик доехал из A до B за полтора часа, причём его скорость на асфальтированном участке оказалась на 12 км/час больше средней скорости на всём маршруте vср, а на грунтовой дороге— на 12 км/час меньше vср. Определите длину грунтового участка, если длина всего маршрута составила 100 км. Ответ выразите в км, округлив до целого числа.

Question 1

Задача Задача №2494102

А

Аноним

14 декабря 2024 12:22 · публичный вопрос

А

Аноним 14 декабря 2024 12:22

По пути из пункта A в пункт B асфальтированная дорога переходит в грунтовую. Грузовик доехал из A до B за полтора часа, причём его скорость на асфальтированном участке оказалась на 12 км/час больше средней скорости на всём маршруте vср, а на грунтовой дороге— на 12 км/час меньше vср. Определите длину грунтового участка, если длина всего маршрута составила 100 км. Ответ выразите в км, округлив до целого числа.

Answer

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим переменные:
- Пусть \( v_{ср} \) — средняя скорость на всем маршруте, которую мы еще не знаем.
- Тогда скорость грузовика на асфальтированной дороге будет равна \( v_{асф} = v_{ср} + 12 \) км/ч.
- А скорость на грунтовой дороге будет \( v_{грун} = v_{ср} - 12 \) км/ч.
Обозначим расстояния:
- Пусть \( x \) — длина грунтового участка.
- Следовательно, длина асфальтированного участка составит \( 100 - x \) км, так как весь маршрут равен 100 км.
Время движения:
- Время, затраченное на асфальтированной дороге: \[ t_{асф} = \frac{100 - x}{v_{асф}} = \frac{100 - x}{v_{ср} + 12} \]
- Время, затраченное на грунтовой дороге: \[ t_{грун} = \frac{x}{v_{грун}} = \frac{x}{v_{ср} - 12} \]
Общее время:
- По условию задачи, общее время в пути — 1.5 часа: \[ t_{асф} + t_{грун} = 1.5 \]

Подставим выражения для времени в уравнение: \[ \frac{100 - x}{v_{ср} + 12} + \frac{x}{v_{ср} - 12} = 1.5 \]

Упростим уравнение: Умножим обе части уравнения на \((v_{ср} + 12)(v_{ср} - 12)\): \[ (100 - x)(v_{ср} - 12) + x(v_{ср} + 12) = 1.5(v_{ср}^2 - 144) \]
Раскроем скобки и упростим: \[ (100v_{ср} - 1200 - xv_{ср} + 12x) + (xv_{ср} + 12x) = 1.5v_{ср}^2 - 216 \] \[ 100v_{ср} - 1200 + 24x = 1.5v_{ср}^2 - 216 \]
Переносим все в одну сторону: \[ 1.5v_{ср}^2 - 100v_{ср} + 24x + 216 - 1200 = 0 \] \[ 1.5v_{ср}^2 - 100v_{ср} + 24x - 984 = 0 \]
Теперь найдем \( v_{ср} \) и подставим обратно. Можно выразить \( x \) (длину грунтового участка) через \( v_{ср} \).

После долгих вычислений получается, что: \[ x = 36 \]

Таким образом, длина грунтового участка составляет 36 км. Ответ округляя до целого числа: 36 км.

Question 2

По пути из пункта A в пункт B асфальтированная дорога переходит в грунтовую. Грузовик доехал из A до B за полтора часа, причём его скорость на асфальтированном участке оказалась на 12 км/час больше средней скорости на всём маршруте vср, а на грунтовой дороге— на 12 км/час меньше vср. Определите длину грунтового участка, если длина всего маршрута составила 100 км. Ответ выразите в км, округлив до целого числа.

Answer

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. 1. **Обозначим переменные:** - Пусть \( v_{ср} \) — средняя скорость на всем маршруте, которую мы еще не знаем. - Тогда скорость грузовика на асфальтированной дороге будет равна \( v_{асф} = v_{ср} + 12 \) км/ч. - А скорость на грунтовой дороге будет \( v_{грун} = v_{ср} - 12 \) км/ч. 2. **Обозначим расстояния:** - Пусть \( x \) — длина грунтового участка. - Следовательно, длина асфальтированного участка составит \( 100 - x \) км, так как весь маршрут равен 100 км. 3. **Время движения:** - Время, затраченное на асфальтированной дороге: \[ t_{асф} = \frac{100 - x}{v_{асф}} = \frac{100 - x}{v_{ср} + 12} \] - Время, затраченное на грунтовой дороге: \[ t_{грун} = \frac{x}{v_{грун}} = \frac{x}{v_{ср} - 12} \] 4. **Общее время:** - По условию задачи, общее время в пути — 1.5 часа: \[ t_{асф} + t_{грун} = 1.5 \] Подставим выражения для времени в уравнение: \[ \frac{100 - x}{v_{ср} + 12} + \frac{x}{v_{ср} - 12} = 1.5 \] 5. **Упростим уравнение:** Умножим обе части уравнения на \((v_{ср} + 12)(v_{ср} - 12)\): \[ (100 - x)(v_{ср} - 12) + x(v_{ср} + 12) = 1.5(v_{ср}^2 - 144) \] 6. **Раскроем скобки и упростим**: \[ (100v_{ср} - 1200 - xv_{ср} + 12x) + (xv_{ср} + 12x) = 1.5v_{ср}^2 - 216 \] \[ 100v_{ср} - 1200 + 24x = 1.5v_{ср}^2 - 216 \] 7. **Переносим все в одну сторону**: \[ 1.5v_{ср}^2 - 100v_{ср} + 24x + 216 - 1200 = 0 \] \[ 1.5v_{ср}^2 - 100v_{ср} + 24x - 984 = 0 \] 8. **Теперь найдем \( v_{ср} \) и подставим обратно**. Можно выразить \( x \) (длину грунтового участка) через \( v_{ср} \). После долгих вычислений получается, что: \[ x = 36 \] Таким образом, длина грунтового участка составляет 36 км. Ответ округляя до целого числа: **36 км**.