Дан треугольник  M N K MNK. В нём проведена высота  N L NL.  L ∈ M K L∈MK,  M N = 37 , M L = 35 , L K = 16 MN=37,ML=35,LK=16. Найди  N K NK.

Для нахождения длины стороны \( NK \) в треугольнике \( MNK \), где проведена высота \( NL \), мы можем использовать теорему Пифагора. Высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника: \( MNL \) и \( NLK \).

Длина высоты \( NL \) можно найти через прямоугольный треугольник \( MNL \): \[ MN^2 = ML^2 + NL^2. \] Подставим известные значения: \[ 37^2 = 35^2 + NL^2. \] Рассчитаем: \[ 1369 = 1225 + NL^2. \] Это дает: \[ NL^2 = 1369 - 1225 = 144. \] Следовательно, высота \( NL = \sqrt{144} = 12 \).

Теперь, чтобы найти сторону \( NK \), воспользуемся прямоугольным треугольником \( NLK \): \[ LK^2 = NL^2 + NK^2. \] Подставим известные значения: \[ 16^2 = 12^2 + NK^2. \] Рассчитаем: \[ 256 = 144 + NK^2. \] Это приводит к: \[ NK^2 = 256 - 144 = 112. \] Следовательно: \[ NK = \sqrt{112} = 4\sqrt{7} \approx 10.58. \]

Ответ: \( NK \approx 10.58 \) или точнее \( 4\sqrt{7} \).