1) решите неравенство : log4 ( x-5) <или= 1 2) решите неравенство : x^2+2x - 3 <или= 0
Давайте решим оба неравенства шаг за шагом.
- Решим неравенство: \( \log_4 (x - 5) \leq 1 \).
Сначала вспомним, что неравенство \( \log_a b = c \) эквивалентно \( b = a^c \). В нашем случае:
\[ \log_4 (x - 5) \leq 1 \implies x - 5 \leq 4^1 \]
Эта неравенство переводится в:
\[ x - 5 \leq 4 \]
Теперь добавим 5 к обеим сторонам:
\[ x \leq 9 \]
Однако, необходимо учесть, что логарифм определен только для положительных аргументов. Таким образом, мы имеем еще одно ограничение:
\[ x - 5 > 0 \implies x > 5 \]
Теперь объединяем оба условия:
\[ 5 < x \leq 9 \]
Таким образом, решение первого неравенства: \( (5, 9] \).
- Решим неравенство: \( x^2 + 2x - 3 \leq 0 \).
Сначала мы найдём корни квадратного уравнения \( x^2 + 2x - 3 = 0 \) с помощью формулы корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -3 \):
- Считаем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
- Теперь находим корни:
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2} \]
Корни будут:
\[ x_1 = \frac{2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]
Теперь мы представим корни на числовой оси: -3 и 1. Теперь определим знаки выражения \( x^2 + 2x - 3 \) на интервалах:
- Для интервала \( (-\infty, -3) \): подставим \( x = -4 \) ⇒ \( 16 - 8 - 3 > 0 \) (положительный).
- Для интервала \( (-3, 1) \): подставим \( x = 0 \) ⇒ \( 0 + 0 - 3 < 0 \) (отрицательный).
- Для интервала \( (1, +\infty) \): подставим \( x = 2 \) ⇒ \( 4 + 4 - 3 > 0 \) (положительный).
Таким образом, неравенство \( x^2 + 2x - 3 \leq 0 \) выполняется на интервале \( [-3, 1] \).
Объединяя решения, получим:
- \( (5, 9] \)
- \( [-3, 1] \)
Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
