Построй четырёхугольник по точкам  A ( 2 ; 2 ) A(2;2),  B ( 3 ; 4 ) B(3;4),  C ( 5 ; 4 ) C(5;4),  D ( 6 ; 2 ) D(6;2). Затем построй четырёхугольник, в который четырёхугольник  A B C D ABCD переходит при гомотетии с центром  O ( 7 ; 6 ) O(7;6) и коэффициентом  k = − 2 k=−2. Определи вид четырёхугольника  A B C D ABCD и координаты второго четырёхугольника.

Для начала построим четырёхугольник \(ABCD\) по заданным точкам.

1. Наносим точки на координатную плоскость:

   • \(A(2; 2)\)
   • \(B(3; 4)\)
   • \(C(5; 4)\)
   • \(D(6; 2)\)

2. Соединяем точки в порядке: \(A \to B \to C \to D\). Это даст нам четырёхугольник \(ABCD\).

Теперь определим вид четырёхугольника. Мы видим, что точки \(B\) и \(C\) имеют одинаковое значение y, что может указывать на то, что \(ABCD\) может быть трапецией (это необходимо проверить на наличие параллельных сторон). Рассмотрим:

• Стороны \(AB\) и \(CD\):
  • \(AB\) соединяет \(A(2, 2)\) и \(B(3, 4)\):
    • \(k_{AB} = \frac{4 - 2}{3 - 2} = 2\)
  • \(CD\) соединяет \(C(5, 4)\) и \(D(6, 2)\):
    • \(k_{CD} = \frac{2 - 4}{6 - 5} = -2\)

Обе стороны имеют разные наклоны, так что они не параллельны. Однако стороны \(BC\) и \(AD\):

• \(BC\) соединяет \(B(3, 4)\) и \(C(5, 4)\) — это горизонтальная линия, \(y = 4\).
• \(AD\) соединяет \(A(2, 2)\) и \(D(6, 2)\) — также горизонтальная линия, \(y = 2\).

Таким образом, квадратно-образный четырёхугольник \(ABCD\) действительно является трапецией.

Теперь перейдём к гомотетии с центром \(O(7, 6)\) и коэффициентом \(k = -2\).

Гомотетия формула определяется следующей зависимостью для произвольной точки \(P(x, y)\):

\[ P' = O + k(P - O) \]

где \(O(x_O, y_O)\) — координаты центра гомотетии, а \(k\) — коэффициент гомотетии. Подставим значения для всех точек:

Для точки \(A(2, 2)\):

\[ A' = O + k(A - O) = (7, 6) + (-2)((2-7), (2-6)) \] \[ = (7, 6) + (-2)(-5, -4) = (7, 6) + (10, 8) = (17, 14) \]

Для точки \(B(3, 4)\):

\[ B' = O + k(B - O) = (7, 6) + (-2)((3-7), (4-6)) \] \[ = (7, 6) + (-2)(-4, -2) = (7, 6) + (8, 4) = (15, 10) \]

Для точки \(C(5, 4)\):

\[ C' = O + k(C - O) = (7, 6) + (-2)((5-7), (4-6)) \] \[ = (7, 6) + (-2)(-2, -2) = (7, 6) + (4, 4) = (11, 10) \]

Для точки \(D(6, 2)\):

\[ D' = O + k(D - O) = (7, 6) + (-2)((6-7), (2-6)) \] \[ = (7, 6) + (-2)(-1, -4) = (7, 6) + (2, 8) = (9, 14) \]

Получили координаты нового четырёхугольника \(A'B'C'D'\):

• \(A'(17, 14)\)
• \(B'(15, 10)\)
• \(C'(11, 10)\)
• \(D'(9, 14)\)

Таким образом, мы определили, что исходный четырёхугольник \(ABCD\) — трапеция, и нашли координаты второго четырёхугольника \(A'B'C'D'\):

• \(A'(17, 14)\)
• \(B'(15, 10)\)
• \(C'(11, 10)\)
• \(D'(9, 14)\)