Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x⁴-8x²-9 на отрезке[-1;3>
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( y = x^4 - 8x^2 - 9 \) на отрезке \([-1; 3]\), сначала нужно определить критические точки функции, а затем проверить границы отрезка.
- Найдём производную функции:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^2 - 9) = 4x^3 - 16x \]
- Решим уравнение производной на равенство нулю для нахождения критических точек:
\[ 4x^3 - 16x = 0 \]
Можно вынести общий множитель:
\[ 4x(x^2 - 4) = 0 \]
Это уравнение имеет решения:
\[ 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \] \[ x^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 \]
Таким образом, критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \). Из них \( x = -2 \) не входит в наш отрезок \([-1; 3]\).
- Теперь будем проверять значения функции в критических точках и на границах отрезка:
- \( x = -1 \):
\[ y(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16 \]
- \( x = 0 \):
\[ y(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^2 - 9 = -9 \]
- \( x = 2 \):
\[ y(2) = (2)^4 - 8(2)^2 - 9 = 16 - 32 - 9 = -25 \]
- \( x = 3 \):
\[ y(3) = (3)^4 - 8(3)^2 - 9 = 81 - 72 - 9 = 0 \]
- Сравним все найденные значения:
- \( y(-1) = -16 \)
- \( y(0) = -9 \)
- \( y(2) = -25 \)
- \( y(3) = 0 \)
- Вывод:
На отрезке \([-1; 3]\) наименьшее значение функции равно \(-25\) (при \(x = 2\)), а наибольшее значение функции равно \(0\) (при \(x = 3\)).
Таким образом, наибольшее значение \( y \) на отрезке \([-1; 3]\) равно \( 0 \), а наименьшее — \( -25 \).
