составить уравнение касательной к графику функции y=x³-2x²+3 в точке x⁰=2
Чтобы составить уравнение касательной к графику функции \( y = x^3 - 2x^2 + 3 \) в точке \( x_0 = 2 \), нам нужно выполнить несколько шагов.
Найти значение функции в точке \( x_0 \): Подставим \( x_0 = 2 \) в функцию: \[ y(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + 3 = 8 - 8 + 3 = 3. \] Таким образом, точка касания имеет координаты \( (2, 3) \).
Найти производную функции: Мы найдем производную \( y' \), чтобы определить угловой коэффициент касательной (наклон): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + 3) = 3x^2 - 4x. \]
Вычислить производную в точке \( x_0 \): Подставим \( x_0 = 2 \) в производную: \[ y'(2) = 3(2)^2 - 4(2) = 3(4) - 8 = 12 - 8 = 4. \] Угловой коэффициент касательной равен 4.
Записать уравнение касательной: Уравнение касательной можно записать в форме \( y - y_0 = k(x - x_0) \), где \( (x_0, y_0) = (2, 3) \) и \( k \) - угловой коэффициент: \[ y - 3 = 4(x - 2). \] Упростим это уравнение: \[ y - 3 = 4x - 8 \quad \Rightarrow \quad y = 4x - 5. \]
Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке \( x_0 = 2 \) имеет вид: \[ y = 4x - 5. \]
