Прочитай условие задачи, начерти рисунок и заполни пропуски в доказательстве. Хорды окружности K M KM и L N LN пересекаются в точке P P . Требуется доказать, что K P ⋅ P M = L P ⋅…
Прочитай условие задачи, начерти рисунок и заполни пропуски в доказательстве. Хорды окружности K M KM и L N LN пересекаются в точке P P. Требуется доказать, что K P ⋅ P M = L P ⋅ P N KP⋅PM=LP⋅PN. Выбери верные варианты из списков. Рассмотрим △ K P L KPL и △ N P M NPM. ∠ ∠ = ∠ =∠ = 1 2 ◡ M L = 2 1 ◡ML, потому что эти углы. ∠ ∠ = ∠ =∠как вертикальные. Следовательно, △ K P L ∼ △ N P M △KPL∼△NPM попризнаку подобия. Значит, K P : KP: = L P : =LP:, поэтому K P ⋅ P M = L P ⋅ P N KP⋅PM=LP⋅PN.
Для доказательства равенства \( KP \cdot PM = LP \cdot PN \) в данной задаче, воспользуемся подобием треугольников.
В рисуемой ситуации у нас есть окружность, в которой две хорды \( KM \) и \( LN \) пересекаются в точке \( P \).
Рассмотрим треугольники \( \triangle KPL \) и \( \triangle NPM \).
- Углы \( \angle KPL \) и \( \angle NPM \) равны, так как они являются вертикальными углами.
- Углы \( \angle PLK \) и \( \angle PMN \) равны, потому что они являются углами, опирающимися на одну и ту же дугу \( LM \) (или \( KN \), в зависимости от того, какое нужно брать).
- Следовательно, из-за равенства двух пар углов по критерию подобия, мы можем заключить, что треугольники \( \triangle KPL \sim \triangle NPM \).
Из подобия треугольников следует, что:
\[ \frac{KP}{LP} = \frac{PM}{PN} \]
Следовательно, можем записать:
\[ KP \cdot PN = PM \cdot LP \]
что и доказывает равенство \( KP \cdot PM = LP \cdot PN \).
Таким образом, заполнив пропуски, мы получаем:
- Углы \( \angle KPL = \angle NPM \) как вертикальные.
- Углы \( \angle PLK = \angle PMN \) как углы, опирающиеся на равные дуги.
Таким образом, мы доказали требуемое.
