Задание 1 (21 балл). Две стороны треугольника равны 5 см и 8 см. Может ли его периметр быть равным: а) 20 см (7 баллов); б) 15 см (7 баллов); в) 26 см (7 баллов)? Предоставьте пояснение

Для определения, может ли периметр треугольника быть равным заданным значениям, нужно учитывать неравенство треугольника. Оно утверждает, что сумма любой двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны.

Обозначим стороны треугольника:

• \( a = 5 \) см,
• \( b = 8 \) см,
• \( c \) — третья сторона.

Периметр треугольника равен \( P = a + b + c = 5 + 8 + c = 13 + c \).

Теперь рассмотрим каждое значение периметра:

а) Периметр равен 20 см

\( P = 20 \) см, следовательно:

\[ 13 + c = 20 \] \[ c = 20 - 13 = 7 \] см.

Теперь проверим, выполняется ли неравенство треугольника:

1. \( a + b > c \) : \( 5 + 8 > 7 \) → \( 13 > 7 \) (выполняется)
2. \( a + c > b \) : \( 5 + 7 > 8 \) → \( 12 > 8 \) (выполняется)
3. \( b + c > a \) : \( 8 + 7 > 5 \) → \( 15 > 5 \) (выполняется)

Все условия выполняются, значит, может существовать треугольник с периметром 20 см.

б) Периметр равен 15 см

\( P = 15 \) см, следовательно:

\[ 13 + c = 15 \] \[ c = 15 - 13 = 2 \] см.

Проверим неравенства:

1. \( a + b > c \) : \( 5 + 8 > 2 \) → \( 13 > 2 \) (выполняется)
2. \( a + c > b \) : \( 5 + 2 > 8 \) → \( 7 > 8 \) (не выполняется)
3. \( b + c > a \) : \( 8 + 2 > 5 \) → \( 10 > 5 \) (выполняется)

Не выполняется условие \( a + c > b \), значит, треугольника с периметром 15 см не может быть.

в) Периметр равен 26 см

\( P = 26 \) см, следовательно:

\[ 13 + c = 26 \] \[ c = 26 - 13 = 13 \] см.

Проверим неравенства:

1. \( a + b > c \) : \( 5 + 8 > 13 \) → \( 13 > 13 \) (не выполняется)
2. \( a + c > b \) : \( 5 + 13 > 8 \) → \( 18 > 8 \) (выполняется)
3. \( b + c > a \) : \( 8 + 13 > 5 \) → \( 21 > 5 \) (выполняется)

Не выполняется условие \( a + b > c \), значит, треугольника с периметром 26 см не может быть.

Ответ:

а) 20 см — может существовать
б) 15 см — не может существовать
в) 26 см — не может существовать