На столе было десять монет: 2 по 10 рублей, а остальные по 5 . Антон, не глядя, кладет в один карман три случайные , а все остальные в другой . Найти вероятность того, что обе десятирублëвые монеты оказались в одном кармане

Чтобы решить задачу, сначала давайте обозначим наши монеты. У нас есть две монеты по 10 рублей и восемь монет по 5 рублей. Общее количество монет — 10.

Антон кладет три случайные монеты в один карман, а остальные семь монет — в другой. Наша цель — найти вероятность того, что обе десятирублевые монеты окажутся в одном кармане.

Сначала определим общее количество способов выбрать 3 монеты из 10. Это можно сделать с помощью комбинаций:

\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10 - 3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120. \]

Теперь посчитаем, сколько способов существует, чтобы обе десятирублевые монеты оказались в одном кармане. Это может произойти в двух сценариях:

1. Обе десятирублевые монеты в первом кармане (вместе с одной из восьми пятирублевых монет).
2. Обе десятирублевые монеты во втором кармане (вместе с двумя из восьми пятирублевых монет).

Сценарий 1:

Если обе десятирублевые монеты в первом кармане, то мы выбираем еще 1 монету из 8 пятирублевых:

\[ C(8, 1) = 8. \]

Сценарий 2:

Если обе десятирублевые монеты во втором кармане, мы выбираем 3 монеты из оставшихся 8 пятирублевых:

\[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8 - 3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56. \]

Теперь мы можем сложить количество успешных случаев:

\[ 8 \text{ (из первого сценария)} + 56 \text{ (из второго сценария)} = 64. \]

Вероятность

Теперь мы можем найти вероятность того, что обе десятирублевые монеты окажутся в одном кармане:

\[ P = \frac{\text{Количество благоприятных случаев}}{\text{Общее количество случаев}} = \frac{64}{120} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}. \]

Таким образом, вероятность того, что обе десятирублевые монеты окажутся в одном кармане, равна \(\frac{8}{15}\).