Имеется 10 карточек, на каждой из которых написано по одному числу из набора 2021,2021**2 ,2021**3 , …,2021**10 (на разных карточках написаны разные числа). Найти вероятность того, что для трёх наугад выбранных карточек произведение двух меньших чисел, написанных на карточках, делится на третье самое большое число.

Для решения задачи, давайте сначала рассмотрим числа, которые у нас есть: \(2021, 2021^2, 2021^3, \ldots, 2021^{10}\). Обозначим их как \(a_1 = 2021\), \(a_2 = 2021^2\), \(a_3 = 2021^3\), и так далее до \(a_{10} = 2021^{10}\).

Наша цель — найти вероятность того, что произведение двух меньших чисел из трех случайно выбранных карточек делится на третье самое большое число.

Пусть мы выберем три карточки, на которых записаны числа \(a_i\), \(a_j\), и \(a_k\) (где \(i < j < k\)). В этом случае два меньших числа — это \(a_i\) и \(a_j\), а третье самое большое — \(a_k\). Нам надо проверить условие:

\[ a_i \cdot a_j \text{ делится на } a_k \]

Запишем это условие в терминах степеней:

\[ 2021^i \cdot 2021^j \text{ делится на } 2021^k \]

Это равносильно тому, что:

\[ i + j \geq k \]

Теперь давайте найдем все возможные комбинации \(i, j, k\), где \(1 \leq i < j < k \leq 10\). Нас сначала интересует общее количество таких троек \((i, j, k)\).

Общее количество способов выбрать 3 карточки из 10 можно вычислить по формуле сочетаний:

\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \]

Теперь найдем количество благоприятных случаев. Мы должны пересчитать количество троек \((i, j, k)\), удовлетворяющих условию \(i + j \geq k\).

1. Для \(k=3\): возможные пары (i, j) — (1, 2) → 1 случай
2. Для \(k=4\): (1, 2), (1, 3), (2, 3) → 3 случая
3. Для \(k=5\): (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) → 6 случаев
4. Для \(k=6\): (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 3, 5), (1, 4, 5), (2, 3, 4), (2, 3, 5), (2, 4, 5), (3, 4, 5) → 10 случаев
5. Для \(k=7\): 15 случаев
6. Для \(k=8\): 21 случай
7. Для \(k=9\): 28 случаев
8. Для \(k=10\): 36 случаев

Суммируем количество случаев по всем значениям \(k\): \[ 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 = 120 \]

Каждый из 120 случаев удовлетворяет условию \(i + j \geq k\). Таким образом, все тройки дают успешный результат.

Теперь найдем вероятность: \[ P = \frac{\text{Количество благоприятных случаев}}{\text{Общее количество случаев}} = \frac{120}{120} = 1 \]

Таким образом, вероятность того, что произведение двух меньших чисел делится на третье самое большое число, равна 1.