1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для биномиального распределения. В данном случае мы рассматриваем бросание симметричной монеты, где вероятность выпадения орла (удачи) равна \(p = 0.5\), а вероятность выпадения решки (неудачи) равна \(q = 1 - p = 0.5\).

Мы хотим найти вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза при четырёх бросках. Эту вероятность можно вычислить по формуле биномиального распределения:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \]

где:

• \(n\) — общее число испытаний (в нашем случае 4),
• \(k\) — число удачных испытаний (в нашем случае 2),
• \(\binom{n}{k}\) — биномиальные коэффициенты, которые можно вычислить как \(\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\).

Подставим значения в формулу:

1. Вычислим биномиальный коэффициент \(\binom{4}{2}\): \[ \binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \]

2. Теперь подставим все значения в формулу: \[ P(X = 2) = \binom{4}{2} (0.5)^2 (0.5)^{4-2} = 6 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^2 \] \[ = 6 \cdot (0.5)^4 = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \]

Таким образом, вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза при четырёх бросках монеты, составляет \(\frac{3}{8}\) или 0.375.