Валюта в долларах США может быть инвестирована под 10% годовых сложных процентов на 3 года. Рублевая ставка равна 17%. В каком диапазоне должен быть среднегодовой темп прироста обменного курса, чтобы была выгодна двойная конвертация (через рубли)?

Question 1

Задача Задача №2496166

А

Аноним

15 декабря 2024 02:33 · публичный вопрос

А

Аноним 15 декабря 2024 02:33

Валюта в долларах США может быть инвестирована под 10% годовых сложных процентов на 3 года. Рублевая ставка равна 17%. В каком диапазоне должен быть среднегодовой темп прироста обменного курса, чтобы была выгодна двойная конвертация (через рубли)?

Answer

Чтобы определить, в каком диапазоне должен быть среднегодовой темп прироста обменного курса для выгодной двойной конвертации валюты через рубли, рассмотрим два сценария: инвестиции в долларах США и рублях.

Инвестиции в долларах США: Если сумма инвестиций составляет \( P \) долларов, через 3 года при ставке 10% сложных процентов она вырастет до: \[ P_{доллары} = P \times (1 + 0.1)^3 = P \times 1.331 \]
Инвестиции в рублях: При конвертации долларов в рубли, предположим, что начальный обменный курс составляет \( S_0 \) рублей за доллар. Конвертируем \( P \) долларов в рубли: \[ P_{рубли} = P \times S_0 \] Затем на эту сумму рублей мы получаем 17% годовых, что за 3 года составит: \[ P_{рубли через 3 года} = P_{рубли} \times (1 + 0.17)^3 = P \times S_0 \times 1.593 \]

Теперь нам нужно выяснить, при каком среднем темпе прироста обменного курса \( x \) (в виде десятичной дроби) будет выгодно инвестировать через рубли.

Мы знаем, что после 3 лет сумма в рублях должна быть равна или больше суммы в долларах, конвертированных назад: \[ P \times S_0 \times 1.593 \geq P \times 1.331 \times S_3 \] где \( S_3 \) — это обменный курс через 3 года, который можно выразить как: \[ S_3 = S_0 \times (1 + x)^3 \]

Подставим \( S_3 \) в неравенство: \[ P \times S_0 \times 1.593 \geq P \times 1.331 \times S_0 \times (1 + x)^3 \] Сократить \( P \) и \( S_0 \) (при условии, что они не равны нулю), получим: \[ 1.593 \geq 1.331 \times (1 + x)^3 \]

Теперь делим обе стороны на 1.331: \[ \frac{1.593}{1.331} \geq (1 + x)^3 \] Вычислим \( \frac{1.593}{1.331} \): \[ \frac{1.593}{1.331} \approx 1.198 \]

Теперь нам нужно найти \( x \): \[ 1 + x \geq (1.198)^{\frac{1}{3}} \] Вычисляем кубический корень: \[ (1.198)^{\frac{1}{3}} \approx 1.063 \] Таким образом, \[ x \geq 0.063 \]

Это означает, что среднегодовой темп прироста обменного курса должен составлять не менее 6.3% в год, чтобы двойная конвертация через рубли была выгодной.

Question 2

Валюта в долларах США может быть инвестирована под 10% годовых сложных процентов на 3 года. Рублевая ставка равна 17%. В каком диапазоне должен быть среднегодовой темп прироста обменного курса, чтобы была выгодна двойная конвертация (через рубли)?

Answer

Чтобы определить, в каком диапазоне должен быть среднегодовой темп прироста обменного курса для выгодной двойной конвертации валюты через рубли, рассмотрим два сценария: инвестиции в долларах США и рублях. 1. **Инвестиции в долларах США**: Если сумма инвестиций составляет \( P \) долларов, через 3 года при ставке 10% сложных процентов она вырастет до: \[ P_{доллары} = P \times (1 + 0.1)^3 = P \times 1.331 \] 2. **Инвестиции в рублях**: При конвертации долларов в рубли, предположим, что начальный обменный курс составляет \( S_0 \) рублей за доллар. Конвертируем \( P \) долларов в рубли: \[ P_{рубли} = P \times S_0 \] Затем на эту сумму рублей мы получаем 17% годовых, что за 3 года составит: \[ P_{рубли через 3 года} = P_{рубли} \times (1 + 0.17)^3 = P \times S_0 \times 1.593 \] Теперь нам нужно выяснить, при каком среднем темпе прироста обменного курса \( x \) (в виде десятичной дроби) будет выгодно инвестировать через рубли. Мы знаем, что после 3 лет сумма в рублях должна быть равна или больше суммы в долларах, конвертированных назад: \[ P \times S_0 \times 1.593 \geq P \times 1.331 \times S_3 \] где \( S_3 \) — это обменный курс через 3 года, который можно выразить как: \[ S_3 = S_0 \times (1 + x)^3 \] Подставим \( S_3 \) в неравенство: \[ P \times S_0 \times 1.593 \geq P \times 1.331 \times S_0 \times (1 + x)^3 \] Сократить \( P \) и \( S_0 \) (при условии, что они не равны нулю), получим: \[ 1.593 \geq 1.331 \times (1 + x)^3 \] Теперь делим обе стороны на 1.331: \[ \frac{1.593}{1.331} \geq (1 + x)^3 \] Вычислим \( \frac{1.593}{1.331} \): \[ \frac{1.593}{1.331} \approx 1.198 \] Теперь нам нужно найти \( x \): \[ 1 + x \geq (1.198)^{\frac{1}{3}} \] Вычисляем кубический корень: \[ (1.198)^{\frac{1}{3}} \approx 1.063 \] Таким образом, \[ x \geq 0.063 \] Это означает, что среднегодовой темп прироста обменного курса должен составлять не менее **6.3%** в год, чтобы двойная конвертация через рубли была выгодной.