Правильную игральную кость бросают дважды. Известно, что произведение выпавших очков чётно. Найдите вероятность события: а) «при одном из бросков выпало 5 очков»; б) «в сумме…

Рассмотрим оба подзадачи по отдельности.

Общая информация

Правильная игральная кость имеет 6 граней с очками от 1 до 6. Общее количество исходов при двух бросках кости равно \( 6 \times 6 = 36 \).

Событие "произведение выпавших очков четно" происходит в случае, если хотя бы одно из очков четное. Возможные четные значения — 2, 4 и 6. Четное произведение может возникнуть, если хотя бы одно из двух значений четное.

Итак, рассмотрим количество благоприятных исходов для условия "произведение четно":

1. Если оба числа нечетные (1, 3, 5), то произведение будет нечетным. Возможные исходы: \( (1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5) \) — всего 9 сочетаний.
2. Поскольку общее количество исходов 36, количество исходов, когда произведение четно: \( 36 - 9 = 27 \).

Теперь можно решить подзадачи.

а) Вероятность события «при одном из бросков выпало 5 очков»

Сначала найдем количество благоприятных исходов для этого события:

Чтобы хотя бы один раз выпало 5, необходимо учитывать все случаи:

• Первый бросок = 5, второй бросок = любой из {1, 2, 3, 4, 5, 6} (6 исходов)
• Второй бросок = 5, первый бросок = любой из {1, 2, 3, 4, 6} (5 исходов, поскольку 5 уже считается в первом случае)

Таким образом, количество благоприятных исходов:

• Если 5 на первом броске: 6
• Если 5 на втором броске: 5

Итого= \( 6 + 5 = 11 \) благоприятных исходов.

Однако, учитывая, что произведение должно быть четным, значит, нам не нужно учитывать случай, когда 5 выпало дважды (это нечетное произведение). Таким образом, надо вычесть один исход: \( (5, 5) \).

Итак, количество благоприятных исходов, когда 5 выпало хотя бы один раз и произведение четно: \[ 11 - 1 = 10. \] Следовательно, вероятность равна: \[ P(A) = \frac{10}{27}. \]

б) Вероятность события «в сумме выпало больше 2, но меньше 7 очков»

Сумма двух бросков может быть от 2 (1+1) до 12 (6+6). Мы ищем исходы, при которых сумма в диапазоне от 3 до 6.

Возможные суммы:

• Сумма 3: (1, 2), (2, 1) — 2 исхода
• Сумма 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1) — 3 исхода
• Сумма 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) — 4 исхода
• Сумма 6: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) — 5 исходов

Итак, количество благоприятных исходов: \[ 2 + 3 + 4 + 5 = 14. \]

Теперь нам необходимо определить, сколько из них имеют четное произведение. Мы будем исключать те результаты, которые приводят к нечетному произведению:

• Сумма 3: Четное (1, 2), (2, 1) — оба случая четные. (acceptable)
• Сумма 4: Все (1,3), (2,2), (3,1) — (1,3) и (3,1) дают нечетное, а (2,2) четное.
• Сумма 5: (1,4) и (4,1) — нечетные, остальные — четные (acceptable).
• Сумма 6: Все четные (acceptable).

Теперь, просуммировав желательные исходы, получим:

• 3 (1,2 и 2,1) + 1 (только (2,2)) + местами (на 4) + (1,5) + (2,4) + (3,3) + (4,2) + (5,1) — все четные.

Теперь определим общее количество благоприятных исходов, которые удовлетворяют условиям как четность, так и сумма. Таким образом, итоговое количество благоприятных исходов для полученной суммы 3 ровно 6 по вышеописанному.

Итак, вероятность равна: \[ P(B) = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}. \]

Ответы

а) \( P(A) = \frac{10}{27} \)
б) \( P(B) = \frac{2}{9} \)