площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найти объëм конуса, если образующая равно 10 см
Для нахождения объёма конуса, когда площадь боковой поверхности в два раза больше площади основания, необходимо использовать несколько формул, связанных с конусом.
Обозначим:
- \( r \) — радиус основания конуса,
- \( h \) — высота конуса,
- \( l \) — образующая конуса (в данном случае \( l = 10 \) см).
- Формулы площадей:
- Площадь основания конуса (круг) определяется как: \[ S_{основания} = \pi r^2 \]
- Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: \[ S_{боковая} = \pi r l \]
Согласно условию, площадь боковой поверхности в два раза больше площади основания: \[ \pi r l = 2 \cdot \pi r^2 \] Сократив \( \pi r \) (при условии, что \( r \neq 0 \)), получаем: \[ l = 2r \]
Подставим известное значение образующей \( l = 10 \) см: \[ 10 = 2r \implies r = 5 \text{ см} \]
Теперь рассчитаем высоту \( h \) конуса. Используем теорему Пифагора для нахождения высоты: \[ l^2 = r^2 + h^2 \] \[ 10^2 = 5^2 + h^2 \implies 100 = 25 + h^2 \implies h^2 = 75 \implies h = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \text{ см} \]
Теперь найдем объём конуса с помощью формулы: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Подставляем известные значения: \[ V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (5\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 5\sqrt{3} = \frac{125\sqrt{3}}{3} \pi \text{ см}^3 \]
Таким образом, объём конуса равен \( \frac{125\sqrt{3}}{3} \pi \text{ см}^3 \).
